Dutova O.S. et al. 2018 Vol. 20 No. 1

OBRABOTKAMETALLOV Vol. 20 No. 1 2018 57 MATERIAL SCIENCE должна составлять несколько ее внутренних диаметров. Материал электрода – вольфрам. За счет взаимодействия плазмы с внутренней по- верхностью формируется кондуктивный тепло- вой поток, определяющий в целом температур- ное поле катода. Систематическая обработка большого числа экспериментов [1–4, 12, 15–16, 19–20] показала, что зависимость суммарного теплового потока q  = q i + q re – q em от координа- ты z можно задать в виде функции распределе- ния Гаусса q  ( z ) = q max exp[–( z – z max ) 2 /  1 ]. Здесь q i , q re , q em – плотности потоков, переносимые ионами, обратными электронами и электронами эмиссии; z max – координата максимума теплового потока q max , через которую проходит ось симме- трии;  1 – расстояние от оси симметрии до точки перегиба. Вследствие независимости параметров те- пловых потоков, формы и материала катода от угловой координаты уравнение теплопроводно- сти можно представить в цилиндрических коор- динатах в двумерном приближении [12, 21]: 1 ( ) ( ) T T r T T r r r                         z z 2 0 ( , ) ( ) ( ) ( ) , T j r T c T d T t      z (1) где c , d ,  ,  – удельная теплоемкость, плотность, коэффициент теплопроводности, удельное со- противление материала; j 0 ( r , z ) – распределение плотности тока в катоде, которая определяется из решения уравнения Лапласа, характеризующе- го распределение электрического потенциала  в стенке катода: 1 1 1 0. ( ) ( ) r r r T r T                         z z (2) По найденному распределению  ( r , z ) плот- ность тока j 0 определяется по формуле 1/2 2 2 0 1 . ( ) j T r                            z (3) Граничные условия к уравнению (1) следую- щие: на внутренней поверхности: 1 ( , ) ( ), T R q r      z z 0 ≤ z ≤ L ; на внешней поверхности – излучение по за- кону Стефана–Больцмана: 4 2 2 ( , ) ( ) ( , ) T R T T R r       z z , 0 ≤ z ≤ L , где  – степень черноты материала;  – постоян- ная Стефана–Больцмана; на торцевой поверхности катода учитывают- ся потери излучением: 4 ( , 0) ( ) ( , 0), T r T T r       z R 1 ≤ r ≤ R 2 ; на границе с катододержателем предполага- ется идеальный тепловой контакт: T ( r , L ) = T ch , R 1 ≤ r ≤ R 2 , где T ch – температура катододержателя. Начальное условие: T ( r , z , t ) = T 0 . Граничные условия к уравнению (2) следую- щие: на внутренней поверхности в зоне привязки тока к катоду: 1 ( , ) 1 ( ), R j r       z z 0 ≤ z ≤ L ; на внешней поверхности: 2 ( , ) 0, R r    z 0 ≤ z ≤ L ; на торце и на границе с катододержателем: ( , 0) 0, r    z  ( r , L ) = 0, R 1 ≤ r ≤ R 2 . Для решения задачи методом конечных раз- ностей применялась схема второго порядка ап- проксимации по пространственным координа- там и первого – по времени [22]. Полученные разностные уравнения решались методом про- гонки. Расчеты проводили для тепловых потоков c параметрами: a) q max = 2,5 МВт/м 2 , z max = 0,02027 м,  1 = = 0,0004; б) q max = 3,5 МВт/м 2 , z max = 0,02027 м,  1 = = 0,00022. При расчетах принимали, что тепло- физические свойства материала катода (воль- фрам) зависят от температуры. Размеры катода: R 1 = 22,5 мм, R 2 = 27,5 мм, L = 70 мм.