Zakovorotny V.L. et. al. 2019 Vol. 21 No. 3

ОБРАБОТКА МЕТАЛЛОВ Том 21 № 3 2019 46 ОБОРУДОВАНИЕ. ИНСТРУМЕНТЫ в координатах состояния, прежде всего, параме- тра (0) T . Для конкретизации рассмотрим систему, имеющую следующие параметры. Инструмент: 0, 025 0 0 0 0, 025 0 0 0 0, 025 m            кг ∙ с 2 /мм ; 2, 5 0, 2 0,1 0, 2 1, 5 0, 08 0,1 0, 08 1, 5 h            кг ∙ с/мм ; 1000 200 100 200 500 60 100 60 500 ñ            кг/мм. Угловые коэффициенты: 1 0, 351,   2 0, 401,   3 0, 847   . Технологические режи- мы: глубина (0) 2, 5 P t  ìì , подача (0) 0,1 P S  ìì, скорость резания (0) 3 2, 0 V  ì / c . Собственные частоты подсистемы инструмента: 1 0,1 180 c ,    1 0,2 230 c    , 1 0,3 260 c    . Параметры дина- мической связи, формируемой резанием, приве- дены в таблице. На рис. 2 приведены два примера проекций фазовых траекторий на плоскость 1 1 / . X dX dt  На правых иллюстрациях дополнительно вве- дена ось, показывающая изменение (0) T вдоль траектории. Примеры характеризуют переход- ные процессы установления притягивающих множеств деформационных смещений: а – асим- птотически устойчивой точки равновесия; б – предельного цикла. Если (0) T неизменна вдоль траектории, то свойства системы остаются не- изменными во всем фазовом пространстве, и в зависимости от  существует диапазон измене- ния (0) T , при котором равновесие неустойчиво. Он уменьшается при уменьшении  и, начиная с некоторого его значения, система становится устойчивой при всех (0) T . Поэтому асимптоти- чески устойчивая точка равновесия в результате изменения (0) T вдоль траектории может поте- рять устойчивость, и по мере развития перио- Параметры динамической связи процесса резания The parameters of dynamic link of the cutting process 2 êã , ìì  0 êã , ìì  ñ , ìì  k  , рад –1 k , мм –1  Ò k  , с 300 20 0,05 100 5,0…10,0 0,5 0,2 0…0,001 дических движений переходить из области при- тяжения равновесия в область ее отталкивания. В результате, как и в моделях Релея и Ван дер Поля, в системе формируется притягивающее множество типа предельного цикла (рис. 2, б ). Если в систему ввести дополнительные колебания, то ситуация принципиально ме- няется. По мере увеличения частоты принци- пиально изменяются эффекты от вводимых до- полнительных колебаний. В низкочастотной области   (1) 1 (0, 50 c )    вдоль траектории на- блюдается перестройка динамических свойств, проявляющаяся в том, что на некоторых участ- ках траектория может потерять устойчивость (рис. 3). Тогда в ее окрестности образуются различные притягивающие множества от пре- дельного цикла и инвариантного тора до ха- отического аттрактора. На рис. 3, б в точке А траектория теряет устойчивость, затем наблю- дается динамическая перестройка, после чего в точке B траектории возвращаются к единому аттрактору. На приведенном примере допол- нительные колебания подаются в направле- нии 1 X с амплитудой 0 0, 05 X   ìì и частотой 1 20 .    ñ Если частоты колебаний соизмеримы с собственными частотами инструмента (множе- ство (2) 1 1 (50 c , 500 c )     , то в зависимости от амплитуды и частоты наблюдаются бифуркации притягивающих множеств. За счет колебаний па- раметры системы, представленные в координатах состояния, имеют периодические составляющие. Тогда наблюдаются параметрические явления, например параметрическое самовозбуждение. Типичным примером изменения топологии фазового пространства является преобразование предельного цикла в инвариантный тор, который после некоторой критической амплитуды преоб- разуется в хаотический аттрактор (рис. 4). Ранее показано, что сценарием перехода к хаотическо- му аттрактору является каскад бифуркаций удво- ения периода [36]. Хаотические колебания фор- мируются в низкочастотной области (рис. 4, в ).