Determination of optimal coordinates for switching processing cycles on metal-cutting machines

OBRABOTKAMETALLOV Vol. 23 No. 1 2021 59 EQUIPMENT. INSTRUMENTS Рис . 2. Схема , поясняющая пересечение гиперплоскости 1 2 ( , ,..., ) n L l l l и гиперпо - верхности 1 2 ( , ,..., ) n l l l  Fig. 2. Diagram explaining the intersection of a hyperplane 1 2 ( , ,..., ) n L l l l and a hyper- surface 1 2 ( , ,..., ) n l l l  1 2 ( , , ..., ) / n i l l l l    1 2 ( , , ..., ) / n i L l l l l    , (3) откуда сразу получаем ( ) ( ), , 1, 2, 3, ..., i i s s V l V l i s n   . (4) Условие (4) позволяет упростить вычисле - ние координат , а также физически реализовать систему , обеспечивающую условие Ç min  . Причем это условие принимает во внимание фи - зические и экономические требования к опти - мальности . Условие оптимальности будет доста - точным , если дополнительно из (2) определить n , при котором Ç min  . Ранее в [10] предложена аппроксимация изменения скорости по пути ре - зания в виде экспоненциальной функции ( ) 0 ( ) 0 ( ) exp[ ], 4 0, , ( ) , i i i i i i i i V l V l l V l           (5) где 0 V – начальное значение скорости в [ м / с ]; i  – параметр в [ м –1 ]. В дальнейшем , не нару - шая общности , будем считать аппроксимацию (5) справедливой . В работах [8–10] было показано , что траекто - рии (5), определяемые эволюционными свой - ствами системы , являются чувствительными к малым вариациям исходных параметров и к не - управляемым возмущениям , например биениям . Поэтому при неизменной начальной скорости 0 V параметр i  может варьироваться . Его есте - ственно рассматривать в виде гауссовой случай - ной величины с математическим ожиданием  [ ] i M    и дисперсией   . Тогда по математи - ческому ожиданию  Ç( ) n для (2) с учетом (5) имеем зависимость приведенных затрат на изго - товление партии деталей от количества пере - ключений n :     1 0 Ç( ) ( ) exp 1 ñ L n n n V                    ( 1) ñ   2 n . (6) Очевидно , что (6) при варьировании n имеет минимум , которому соответствует оптимальная минимальная скорость  0,1 0 0 exp L V V n          . Здесь 0 n – количество переключений , доставля - ющее минимум (6). Если учесть доказанное не - обходимое условие оптимальности (4), то из (6) вычисляется оптимальное значение 0 n и соот - ветствующая оптимальная скорость 0,1 V . Затем вычисляются i l , соответствующие  ( 3 , i        3 )     , которые характеризуют множество  (l) .