Study of the stress-strain and temperature fields in cutting tools using laser interferometry

OBRABOTKAMETALLOV Vol. 23 No. 4 2021 85 EQUIPMENT. INSTRUMENTS 2 2 2 2 2 2 . y y x y x    ¶ ¶ ¶ + = ¶ ¶ ¶ (14) Представим уравнение (14) в конечных раз - ностях ( положение узлов см . рис . 3, а ): 1, , 1 1, , 1 , 4 yJ N yJ N yJ N yJ N yJ N      + + - - + + + + - = 1, , 1, 2 . J N J N J N    + - = - + (15) Для экстраполяции ( при послойном разделе - нии сумм напряжений ) полученное уравнение (15) необходимо преобразовать относительно членов σ y J , N +1 , σ y J +1, N , σ y J –1, N , σ y J , N– 1 , для гармониза - ции – относительно члена σ y J , N . В зоне А расчет ведется от контура в тело ( см . рис .4), причем для вычислений σ y J , N +1 уравнение (15) исполь - зуется для слоев с N = 2 и более . Для расчета σ y J , 1 в слое N =1 распишем в ко - нечных разностях для точки ( J ,0) уравнения (10) и (15). В результате их преобразования с учетом того , что значения σ y и  xy на свободном контуре равны нулю , получаем уравнение ,1 1,0 ,0 1,0 1 ( 2 ) . 2 yJ J J J     + - = - + (16) Для нахождения значений σ y на краях расчет - ного слоя представим уравнение (15) в конечных разностях с удвоенным шагом по оси y , т . е . за - менив h y =2  h x ( рис . 3, б , слева ), и разрешим от - носительно члена  y J , N +2 : , 2 1, , 1, 4( 2 ) y J N J N J N J N     + + - = - + + , 1, 1, 10 4( ) y J N y J N yJ N    + - + - + - , 2 . yJ N  - - (17) Определив значение  y J , N +2 , можно най - ти  y J– 1, N +1 и  y J +1, N +1 на краях слоя N + 1 ( рис . 3, б , справа ), преобразовав относительно центральной точки ( J,N +1) формулу (15). Для зоны B ( см . рис . 4) расчет осуществляет - ся аналогично с учетом изменения направления движения , т . е . вместо слоев N зоны А рассма - триваются слои J . Составляющая  x нормальных напряжений в каждом узле определяется по формуле . x y    = - (18) Тангенциальная  xy составляющая напряже - ний может быть определена из уравнений равно - весия (11) и (12), если их расписать в конечных разностях . В зоне А , 1 , 1 xyJ N xyJ N   + - = + 1, 1, xJ N xJ N   + - + - (19) и в зоне B 1, 1, xyJ N xyJ N   - + = - , 1 , 1 . yJ N yJ N   + - - + (20) Для первого слоя зоны А уравнение примет вид 1,0 1,0 ,1 . 2 xJ xJ xyJ    + - - = (21) Таким образом , используя формулы (15)– (21), можно осуществить разделение сумм на - пряжений Θ , полученных по результатам анали - за изменений интерференционных картин , т . е . рассчитать составляющие напряжений  x ,  y ,  xy . Для расчета полей температур из эпюры по - рядков полос m 3 , полученной сразу после выво - да инструмента из зоны обработки , вычитают эпюру до нагружения m 1 ( т . е . для холодного ин - струмента ). Таким образом , получаем эпюру по - рядков полос m t = ( m 3 − m 1 ) для интересующего сечения нагретого инструмента . При наличии температурных деформаций закон Гука для плоского напряженного состоя - ния с учетом температурных напряжений и фор - мулы (3) можно представить в виде 0 ( ) ( ) , t z x y t è m T T t E       = = - + + - (22) где ( T t − T 0 ) – изменение температуры от началь - ной T 0 до достигнутой T t в интересующий мо - мент работы инструмента ; ( σ x + σ y ) – сумма термо - напряжений ; α – температурный коэффициент линейного расширения ( ТКЛР ) инструменталь - ного материала [26]. Термонапряжения согласно результатам раз - личных исследований обычно составляют не более 40 % величины напряжений , возникаю - щих от действия силовых нагрузок в процессе работы инструмента . Если принять ( σ x + σ y ) = 0, то при черновом точении стали ( например , при T t =740 К для сплава ВК 8 с α = 4,7·10 –6 К –1 ,