Obrabotka Metallov. 2017 no. 3(76)

OBRABOTKAMETALLOV № 3 (76) 2017 37 EQUIPMENT. INSTRUMENTS                                 2 2 2 2 2 3 2 2 0 , x u u EA m x t v v v m d t t (1)                    4 2 4 2 0 v u v v EI EA m x x x x t . (2) Здесь u ( x,t ) и v ( x,t ) – продольное и поперечное перемещения текущего сечения стержня соот- ветственно; EA и EI – жесткость поперечного сечения стержня при растяжении-сжатии и из- гибе соответственно [6, 7]; E – модуль упругости материала стержня; I – осевой момент инерции поперечного сечения стержня. Совместное решение (1) и (2) затруднитель- но. Однако для выяснения незатухающих по- перечных колебаний можно пренебречь нели- нейными членами правой части уравнения (1), которые по своему смыслу учитывают влияние «нелинейной инерционности». Тогда уравне- ние (1) содержит только u ( x,t ) и может быть раз- решено независимо от уравнения (2):       2 2 2 2 0 u u EA m x t . Стационарные вынужденные продольные ко- лебания происходят с частотой возбуждения и описываются законом u ( x,t ) = u ( x ) cos Ω t . (3) При граничных условиях (рис. 3, б ) [4, 5] x = 0 u = 0, x = l /2     2 P M u u EA EA имеем полное решение уравнения (3) в виде         2 cos ( , ) sin cos sin 2 2 P t u x t x l l c EA M c c c , где  EA c m . Обозначая     k m EA , окон- чательно получаем       2 cos , sin cos sin 2 2 P t u x t kx kl kl kEA M . (4) При стремлении знаменателя в выражении (4) к нулю u ( x,t ) обращается в бесконечность. Это Рис. 3. Расчетная схема установки ( а ), расчетная схема для продольных ( б ) и поперечных (в) колебаний Fig. 3. The analytical model of the installation ( а ), the analytical model for longitudinal ( б ) and transverse ( в ) oscillations