Obrabotka Metallov. 2017 no. 3(76)

ОБРАБОТКА МЕТАЛЛОВ № 3 (76) 2017 38 ОБОРУДОВАНИЕ. ИНСТРУМЕНТЫ соответствует резонансу продольных колебаний, и частотное уравнение имеет следующий вид: kl tg( kl /2) = ml / M. В нашем случае ml << M и решающее влия- ние на частоту продольных колебаний оказывает масса концевого груза. В этом случае для низ- шей собственной частоты приближенно можно принять [4]       2 1 / 3 EA Ml , (5) где α = ml / M. Найденное выражение u ( x,t ) подставляем в уравнение (2) и получаем                                 4 4 2 2 2 2 2 2 cos cos / 2 sin / 2 sin cos 0. v EI x P t EA kEA kl M kl v v k kx k kx x x v m t Решение уравнения (6) разыскиваем с помощью вариационного метода Бубнова–Галеркина [8]. В качестве аппроксимирующей функции проги- ба принимаем v ( x,t ) = f ( t ) cos (π x / l ), отвечающей граничным условиям задачи: при x = ± l /2 v = 0,    2 2 0 v x . Окончательно с учетом (5) получаем следую- щее уравнение:          2 1 2 cos 0 f t f , (7) где ω 2 = π 4 EI / ml 4 – частота поперечных колеба- ний стержня; μ = P /2 P * ; P * = π 2 EI / l 2 – критиче- ская сила по Эйлеру [7];                    2 2 0 2 0 4 cos cos 2 2 sin sin cos / 2 2 1 3 sin / 2 . l l x kx dx l l k x kx dx l kl M ml kl Вычисление ψ дает следующее выражение:                        2 2 2 2 2 2 2 1 / 1 / 4 sin / 2 cos / 2 2 / 1 3 sin / 2 k l kl k l kl kl M ml kl . Если положить Ω t = 2τ, a = 4ω 2 /Ω 2 , q = = 4μψω 2 /Ω 2 , уравнение (7) приводится к уравне- нию Матье [4, 5]:         2 2 2 cos 2 0 f a q f . (8) Результаты решения уравнения Матье для раз- личных комбинаций коэффициентов а и q пред- ставляются в виде диаграммы Айнса-Стретта [5, 9]. Различные аспекта исследования уравне- ния Матье и представлений диаграммы Айнса- Стретта изложены в работах [10–16]. Результаты и обсуждение Расчеты выполнены для тяги с размерами D×d×l = 35×32×1200 (мм), материал Д16Т, кон- цевой груз с размерами D×h = 120×100 (мм), ма- териал – сталь 45. Вычисленные коэффициенты уравнения (8), например при рабочем напряже- ния σ = 10 МПа, имеют следующие значения: а = 0,36, q = 0,89. На диаграмме Айнса-Стрет- та (рис. 4) эта точка находится в белой зоне (не- устойчивость), и, как показали эксперименты, стержень при этом напряжении испытывает со- вместные продольные и поперечные колебания. Для устранения поперечных колебаний тяги дан- ного типоразмера следует изменить условия ис- пытания, в частности, за счет изменения длины тяги, массы концевых грузов, вариации частот продольных и поперечных колебаний. Так, про- веденные эксперименты для тяги с размерами (6)