Actual Problems in Machine Building 2020 Vol. 7 No. 1-2

Actual Problems in Machine Building. Vol. 7. N 1-2. 2020 Innovative Technologies in Mechanical Engineering ____________________________________________________________________ 64 выступают так называемые граничные условия, т.е. силы, перемещения, температуры, тепловые потоки и пр., характеризующие внешнее воздействие на границу рассматриваемой области. При попытке анализа динамической задачи уже важно иметь понятие о начальных (временных) условиях, а также уметь задавать закон изменения последних по отношению ко времени. Вместе начальные и граничные условия иногда называют краевыми условиями решаемой задачи, и вместе с исходным дифференциальным уравнением в частных производных они входят в её постановку. Таким образом, с формальной точки зрения к методу конечных элементов можно относиться как методу решения систем дифференциальных уравнений в частных производных. Так складывается первоначальная схема применения метода (рис. 1). Рис. 1. МКЭ как «чёрный ящик» Развитие математических представлений о МКЭ Развитие математических представлений о МКЭ способствует пониманию принципа решения задачи и позволяет избежать некоторых ошибок, которые могут быть связаны с организацией компьютерных расчётов. Первое, что должен различать студент – это понятия непрерывной и дискретной функции. Искомая физическая величина в проектной задаче (температура, напряжение и пр.) математически описывается непрерывной функцией, поиск которой связан с решением дифференциальных уравнений с частными производными. Метод конечных элементов основан на идее замены такой непрерывной функции дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно - непрерывных функций. При этом пространственное представление исследуемого объекта осуществляется с помощью набора конечных элементов . Роль конечных элементов, выполняют области простой ( канонической) геометрии, например, отрезки, многоугольники, многогранники. На каждом из конечных элементов неизвестная функция F(x,y,z) аппроксимируется, так называемой, пробной функцией f(x,y,z) . Причем эти пробные функции должны удовлетворять граничным условиям непрерывности, совпадающим с граничными условиями, налагаемыми решаемой краевой задачей [1]. Выбор для каждого элемента аппроксимирующей функции определяет соответствующий тип элемента. Рассмотрим, например, наиболее простой из трехмерных элементов – симплекс-элемент, который представляет собой тетраэдр и показан на рис. 2. Четыре узла этого элемента обозначены индексами i , j , k , l . Пробная функция для такого элемента представляет собой интерполяционный полином и имеет вид:  =  1 +  2 x +  3 y +  4 z (1)