Actual Problems in Machine Building 2020 Vol. 7 No. 1-2

Актуальные проблемы в машиностроении. Том 7. № 1-2. 2020 Инновационные технологии в машиностроении ____________________________________________________________________ 65 Рис. 2 . Трехмерный конечный симплекс-элемент Имея координаты ( x, y, z ) каждого из узлов этого элемента и значение искомой функции в этих узлах несложно вычислить коэффициенты полинома. К примеру, если известно, что i (1,2,1), j (0,0,0), k (2,0,0), l (1,0,3), а значения функции F(x,y,z) в узлах F i =40, F j =34, F k =26, F l =15. Тогда искомый интерполяционный полином примет вид: f = 34 - 4 x + 7.5 y -5 z. И появляется возможность вычислить значение функции в любо внутренней точке тетраэдра, например, f (1, 0.5, 1)=28,75. Очевидно, что точность решения задачи для всей области определения анализируемой конструкции будет зависеть от того, насколько большое количество элементов мы используем. Однако при этом машине нужно будет обрабатывать соответствующее количество (ансамбль) пробных функций, что чревато запросом больших вычислительных ресурсов. Студенту также необходимо усвоить, что во многих случаях сетка конечных элементов строится неравномерно. Алгоритмы используемых программ могут сгущать сетку в местах резкого изменения геометрии, острых кромок и других конструктивных элементов, которые в теории могут выступать концентраторами напряжений. Поэтому, если такие элементы формы не играют существенной роли при анализе конструкций (например, технологические канавки, центровые отверстия и т.п.), то лучше перестроить исходную геометрическую модель, исключив их из расчёта. Но, не стоит исключать из расчёта такие элементы конструкции, которые находятся в зонах высоких градиентов, т.е. там, где наблюдаются локально высокие значения искомой и резкие перепады значений. Применение элементов высокого порядка, как правило, приводит к достижению заданной степени точности решения при анализе меньшего количества пробных функций. Однако оно не всегда ведет к сокращению расходов вычислительных ресурсов; т.к. для получения и обработки таких пробных функций может потребоваться выполнение большего числа арифметических операций. Вместе с тем, обучающемуся полезно уяснить, что выбор типа конечного элемента в основном связан с выбором интерполяционного полинома и практически не связан с физическим смыслом решаемой задачи, хотя в отдельных случаях специалисты могут давать некоторые вполне обоснованные рекомендации. Из предыдущего обсуждения у студента может возникает резонный вопрос: если путём аппроксимации уже можно получить приближённое решение исходной задачи, то где здесь используются базовые соотношения, характеризующие её физический смысл? Однако всё описанное, включая подготовку геометрических и физических данных, а также построение конечно-элементной сетки, обычно относят к этапу препроцессирования. Наиболее ресурсоёмкие вычисления всё ещё впереди. Дело в том, что полученную аппроксимацию на следующем этапе МКЭ необходимо оптимизировать на основе применения вариационных принципов. Суть этих принципов можно сформулировать так: из всех возможных вариантов поведения система выбирает оптимальный, в частности такой вариант может соответствовать, например, минимуму затраченной системой энергии.