Actual Problems in Machine Building 2020 Vol. 7 No. 1-2

Actual Problems in Machine Building. Vol. 7. N 1-2. 2020 Innovative Technologies in Mechanical Engineering ____________________________________________________________________ 66 Например, для стационарных режимов теплопередачи закон сохранения энергии выражает математическая модель в виде дифференциального уравнения теплопроводности, записанного совместно с граничными условиями первого-третьего рода. В вариационном исчислении (для двумерного случая) решение такой задачи эквивалентно отысканию минимума функционала [5]: , (2) где   yx, T – функция, определяющая поле температур в двумерной области, К; Q – внутренний тепловой источник или сток, Вт; x K и y K – коэффициенты теплопроводности в направлении осей координат, Вт/(мК); q – тепловой поток заданной интенсивности, Вт/м 2 ; h – коэффициент конвективного теплообмена, Вт/(м 2 К); c T – температура окружающей среды, К; V – объем тела, м 3 ; S – площадь поверхности, м 2 ; x и y – текущие координаты. Рассматриваемый случай является линейной задачей, т.к. коэффициенты, характеризующие материал, принимаются не зависящими от функции температуры. При программной реализации МКЭ необходимо рассматривать функционал для каждого отдельно взятого конечного элемента, заменяя при этом в выражении (2) искомую функцию интерполяционным полиномом типа (1). Непрерывность функции во всей области обеспечивается равенством пробных интерполирующих функций на границе между элементами. После указанной модификации внутри цикла по элементам вычисляются функционалы для каждого конечного элемента. Затем находится суммарный функционал  N =e e χ =χ 1 ∑ , который минимизируется. То есть, вычисляются такие изначально неизвестные значения искомой функции в узлах конечно-элементной сетки, которые доставляют суммарному функционалу минимум. Математические преобразования в программе приводят в итоге к формированию системы линейных алгебраических уравнений вида [ A][F] = [B] . (3) Используемые краевые условия должны обеспечить равенство числа уравнений в системе (3) и числа неизвестных. Многие профессиональные программы предлагают пользователю варианты выбора численного метода решения системы (3), т.к. в зависимости от получающейся структуры матрицы коэффициентов, более эффективен с точки зрения скорости решения, может быть тот или иной метод. Выводы 1. Применение метода конечных элементов требует от будущего инженера некоторых базовых знаний его теоретических основ. В качестве знаний пререквизитов, в частности выступают знание взаимосвязи между силовыми характеристиками, перемещения и деформации в механической системе, знание видов теплообмена системы с окружающей средой в отсутствие теплоизоляции для тепловой задачи и др.