Obrabotka Metallov 2013 No. 3

ОБРАБОТКА МЕТАЛЛОВ № 3 (60) 2013 58 ОБОРУДОВАНИЕ. ИНСТРУМЕНТЫ ствует упрощение конструкции его элементов, явля- ющееся следствием оптимального проектирования. Из рассмотренных критериев в настоящей работе в качестве целевой функции принята масса конструк- ции (4). Остальные критерии вводятся в ограничения задачи. В пользу такого подхода говорит следующее: • в работе рассматриваются вопросы проекти- рования тяжелых станков, масса которых составляет десятки и сотни тонн, при этом масса несущих кон- струкций достигает 80–85 % от массы станка; • на все критерии, за исключением массы, можно назначить допускаемые значения (допускаемое на- пряжение, допускаемое перемещение и т. д.); • проведенный ранее анализ технических харак- теристик серийных многоцелевых станков показал, что станки одной группы и одного класса точности существенно различаются по массе (до ~ 3 раз). 1.2. Математическая модель конструкции Несущие конструкции МС представляют собой тонкостенные коробчатые структуры прямоугольной формы с ребрами жесткости, перегородками и т. д. Для моделирования геометрии такой конструкции на основе МКЭ используются пластинчатый четы- рехузловой и стержневой конечные элементы (КЭ). Математическая модель для оптимального проекти- рования такой конструкции записывается в следую- щем виде: минимизировать 0 1 1 k m i j i j V V = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ψ = ρ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ (7) при ограничениях: на перемещения ψ 1 = 1 – δ/[δ] ≥ 0, напряжения ψ 2 = 1 – σ экв /[σ] ≥ 0, устойчивость ψ 3 = 1 – n σ/σ кр ≥ 0, частоту ψ 4 = p 1 /[ p 1 ] – 1 ≥ 0 переменные проектирования ψ 5 = V i ≥ 0, i = 1, …, k , ψ 6 = V j ≥ 0, j = 1, …, m , где k, m – число пластинчатых и стержневых КЭ; ρ – плотность материала; V – объем КЭ; δ, [δ] – рас- четная и допускаемая относительная деформация; σ экв , [σ] – эквивалентное и допускаемое напряжения; n – коэффициент запаса на устойчивость; σ, σ кр – сжимающее напряжение, действующее в плоскости КЭ, и критическое напряжение; p 1 , [ p 1 ] – расчетное и допускаемое значение низшей (первой) собственной частоты. Переменными проектирования являются толщи- на t c стенки корпуса и толщина t р ребра (при посто- янной ширине). Габаритные размеры несущей кон- струкции (длина, ширина, высота) определяются техническим заданием и здесь не варьируются. 1.3. Методы оптимизации Задача (7) относится к задаче оптимизации с огра- ничениями или задаче условной оптимизации. Для решения этой задачи в настоящей работе использует- ся метод штрафных функций [16], в основе которого лежит преобразование условной задачи в задачу без ограничений. Преимущество такого подхода состоит в том, что поиск может осуществляться гораздо бо- лее простыми и хорошо разработанными методами безусловной оптимизации. Задача (7) решается мето- дом штрафных функций в форме 6 0 0 1 1 / , н = ϕ = ψ ψ + ψ ∑ i i r (8) где ψ 0 н – начальная масса несущей конструкции до оптимизации; r – малый положительный параметр. Решение задачи получено безусловной минимизаци- ей функции (8) для убывающей последовательности значений параметра r методом Давидона–Флетчера– Пауэлла [16]. Согласно результатам численных экс- периментов [16] три метода – Давидона–Флетчера– Пауэлла (ДФП), Бройдена–Флетчера–Шэнно (БФШ) и прямого поиска Пауэлла показывают лучшие ре- зультаты в сравнении с другими методами. В настоя- щей работе используется авторское программное обеспечение, реализующее интегрированную работу МКЭ и методов оптимизации [20]. Для подтвержде- ния адекватности выбранных методов оптимизации и их программной реализации далее приведены те- стовые примеры и результаты расчетов. 1. При тестировании метод штрафных функций записывался в форме ( ) 0 1 1 , , = ⎛ ⎞ ϕ = ψ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ψ⎝ ⎠ ∑ X J j j r r где X – вектор переменных проектирования; ψ 0 – це- левая функция; r – малый положительный параметр; ψ j – ограничения задачи. Итерационная процедура вычислительного метода штрафных функций на k -м шаге минимизирует функцию ( ) 0 1 1 , J k k j j r r = ⎛ ⎞ ϕ = ψ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ψ⎝ ⎠ ∑ X методом Давидона–Флетчера–Пауэлла (ДФП). В свою очередь, метод ДФП использует при одномерном по- иске кубическую интерполяцию. Для тестирования метода штрафных функций рассмотрена следующая задача [17], имеющая точное решение (табл. 1): минимизировать ψ 0 = ( X 1 – 1)( X 1 – 2)( X 1 – 3) + Х 3 при ограничениях X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0, X 3 ≥ 0, X 3 2 – X 1 2 – X 2 2 ≥ 0, X 1 2 + X 2 2 + X 3 2 – 4 ≥ 0, X 3 ≤ 5.