Obrabotka Metallov 2013 No. 2

ОБРАБОТКА МЕТАЛЛОВ № 2 (59) 2013 21 ОБОРУДОВАНИЕ. ИНСТРУМЕНТЫ – наличием продольного разреза во внутрен- нем цилиндре пренебрегаем и полагаем, что си- стема обладает аксиальной симметрией, так что ∂/∂φ ≈ 0 (φ – азимутальный угол); – в первичной обмотке согласующего устрой- ства имеет место только азимутальная состав- ляющая плотности тока J ( t ) = J m j ( t ), где J m – амплитуда; j ( t ) – временная зависимость; – электромагнитные процессы удовлетворя- ют условию квазистационарности, ω/ cℓ << 1, где ω – радиальная частота; с – скорость света в ва- кууме; ℓ – наибольший характерный геометри- ческий размер в системе. Обозначим области с одинаковыми электро- физическими параметрами: 1 – внутренняя полость, r ∈ [0, R 1 ]; 2 – металл внутреннего цилиндра, r ∈ [ R 1 , R 2 ]; 3 – диэлектрическая полость между цилин- драми, r ∈ [ R 2 , R 3 ]; 4 – металл внешнего цилиндра, r ∈ [ R 3 , R 4 ]; 5 – свободное пространство вне системы, r ∈ [ R 4 , ∞ ). В принятой системе координат (в соответ- ствии с постановкой задачи) составим уравне- ния Максвелла для ненулевых компонент векто- ра напряженности электрического и магнитного полей E φ ( r , t ) ≠ 0, H z ( r , t ) ≠ 0: 0 0 1 ( ( , )) ( , ), ( , ) ( , ) (вакуум), ( , ) ( , ) (металл), z z z r E p r p H p r r r H p r p E p r r H p r E p r r ϕ ϕ ϕ ∂ ⎧ = − μ ⎪ ∂ ⎪ ∂ ⎪ − = ε ⎨ ∂ ⎪ ⎪ ∂ − = γ ⎪ ∂ ⎩ (1) где p – параметр преобразования Лапласа; μ 0 , ε 0 – магнитная и диэлектрическая проницаемости свободного пространства; E φ ( p , r ) = L { E φ ( t , r )}, H z ( p , r ) = L { H z ( t , r )}. Система уравнений (1) приводится к соответ- ствующим дифференциальным уравнениям для напряженности электрического поля: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 0 , , ( ) , , r E p r k p E p r r r r ϕ ϕ ∂ ∂ ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ (2) где k 1 ( p ) – волновое число в металле, k 1 ( p ) = = 0 p μ γ ; k 2 ( p ) – волновое число в вакууме, k 2 ( p ) = p / c. Решая полученные уравнения известными методами математического анализа с примене- нием интегрального преобразования Бесселя, как это выполнено в работах [1, 3, 5], опуская промежуточные выкладки, запишем систему ли- нейных алгебраических уравнений относитель- но неизвестных произвольных постоянных C 1 , D 1 , A 1 в выражениях и тока, индуцированного во вторичной обмотке рассматриваемого согласую- щего устройства: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , k p R k p R k p R k p R k p R k p R A p R C p e D p e R A p C p e D p e p k p R C p e D p e k p R J p J p w ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⎧ + = ⎪ ⎪ ⎪ γ − = ⎪ μ ⎪ ⎨ γ ⎪ − ≈ ⎪ ⎪ ⎪ + ⎛ ⎞ ≈⎪ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎩ A (3) где 1 ( ) J p – L -изображение тока, индуцирован- ного в металле внутреннего цилиндра. Исключив A 1 ( p ), находим связь следующего вида: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k p R k p R k p R C p e D p e k p R − ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ . (4) Следует отметить, что рабочие частоты в тех- нике МИОМ не превышают ~ 50…70 кГц [4, 9]. Например, для f ~ 2 кГц и реально возможных радиальных размеров рассматриваемой системы R 1 ≈ 0,025…0,25 м при γ = 6·10 7 1/Ом·м (медь) справедлива оценка: 0 1 1 R ωμ γ ⋅ >> и 1 1 2 3 4 1 , , , ( ) k p R ⋅ >> . (5) Тогда при выполнении условия (5) выраже- ние (4) принимает вид 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k p R k p R C p e D p e − ≈ . (6) Связь (6) подставим в третье уравнение си- стемы (3). После перехода в пространство ори- гиналов находим, что 1 ( ) ( ) J t wJ t ≈ − . (7) Проводя сравнение результата (7) с аналогич- ной зависимостью для индуцированных токов в