Obrabotka Metallov 2012 No. 4

ОБРАБОТКА МЕТАЛЛОВ № 4 (57) 2012 32 ОБОРУДОВАНИЕ. ИНСТРУМЕНТЫ увеличивается ( P 1 > P 2 ). На поршень, а значит, и на шток действует сила сопротивления F d = ( P 1 – P 2 ) S 1 , (1) где S 1 = π D 2 /4 – площадь поршня (без учета се- чения штока); P 1 и P 2 – первоначальные давле- ния в верхней и нижней полости соответственно. Сила F d при перемещении поршня совершает работу. Заметим, что без перетекания воздуха из одной полости в другую демпфер работал бы как пружина без гашения колебания. Наличие отверстия для перетекания воздуха создает ги- стерезисный эффект. При перемещении штока с поршнем из не- которого текущего положения на dx объем ниж- ней полости уменьшается на величину S 1 dx , а верхней полости увеличивается на такую же ве- личину. Первоначальное давление P 1 и объем V 1 нижней полости связаны с новыми давлением 1 P и объемом 1 V (пока без учета перетекания воздуха) соотношением 1 1 1 1 n n P V P V = , (2) где n – показатель политропы. С учетом того что 1 1 1 V V S dx = − , из (2) следует 1 1 1 1 / (1– / ) n P P S dx V = . Записав соотношение (2) для первоначальных 2 P , 2 V и новых 2 P , 2 V давлений и объемов верх- ней полости и учитывая, что 2 2 1 V V S dx = + , по- лучим 2 2 1 2 / (1 / ) . n P P S dx V = + При 1 2 P P > воздух из нижней полости нач- нет перетекать в верхнюю полость. Весовой рас- ход воздуха Q за время dt вычисляется по фор- мулам газовой динамики [3]. Учитывая количество воздуха Q , которое перетекло за вре- мя dt , откорректируем 1 P и 2 P к началу следую- щего шага. Через время dt количество воздуха Q в обеих полостях за счет перетекания будет опре- деляться выражениями = − 1 1 ; G G Q 2 2 G G Q = + . Соответственно изменяются удельные веса, γ 1 , γ 2 воздуха в нижней и верхней полостях и давления воздуха в них 1 P и 2 P . Эти откоррек- тированные давления обозначим 1н P и 2н P : 1н 1 1 1 [ / ( )] n P P G G Q = + ; = − 2н 2 2 2 [ / ( )] . n P P G G Q (3) Сила сопротивления F d в момент времени t определяется по выражению (1), где вместо P 1 и P 2 берутся их откорректированные значения 1н P и 2н P по (3). Затем расчет повторяется для ново- го приращения аргумента dt . Таким образом, задав параметры демпфера и закон движения поршня, можно по приведенному алгоритму вычислить силу F d , а значит, и работу, совершаемую этой силой за цикл колебаний. Представим пример моделирования демпфе- ра для осциллятора при стационарных колебани- ях с частотой p и амплитудой h 1 : 1 sin x h pt = . Зададим параметры демпфера: высота демп- фера h = 8,6 см, диаметр демпфера D = 4,3 см, диаметр пропускного отверстия d = 0,125 см. Рассеивающая способность такого пневмо- демпфера на частоте ν = 0,3 Гц с амплитудой h 1 = 3,5 см представлена на рис. 2 в виде петли гистерезиса. Рис. 2. Петля гистерезиса Дифференциальное уравнение движения за- щищаемого объекта при кинематическом воз- действии основания имеет вид 2 y ( , ) ( ) cos( ) d e mx F x x F x mA p pt + + = + α , (4)