ОБРАБОТКА МЕТАЛЛОВ Том 24 № 2 2022 54 ТЕХНОЛОГИЯ Так как при проведении исследований используется серийная ультразвуковая колебательная система, имеющая определенную резонансную частоту f, то расчет произведем исходя из необходимости обеспечения равной резонансной частоты пластины fп. Амплитудно-частотная характеристика колебательной системы (рис. 2) снималась на торце волновода индикатором часового типа. Резонансная частота составляет f = 21 800 Гц. Дифференциальное уравнение изгибных колебаний пластины имеет вид [28] 2 2 4 2 0 0 4 2 2 2 0, m m m d d dx c c dx где m – амплитуда колебаний; 0 – круговая частота собственных колебаний; x – координата пластины в продольном направлении; с – скорость распространения продольных колебаний; – радиус инерции поперечного сечения, / , I S где I – момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости колебаний; S – площадь поперечного сечения. Для используемой пластины прямоугольного сечения (30×4 мм): 3 / 0, 0012. 12 bh bh При соблюдении условия 2 2 0, 05 l (для рассматриваемого случая 0,0006) можно пренебречь Рис. 2. Амплитудно-частотная характеристика ПМС-2,0-22 Fig. 2. Amplitude-frequency characteristic PMS-2.0-22 инерцией вращения, тогда уравнение установившихся колебаний принимает следующий вид: 2 4 0 4 2 0. m m d dx c Решение данного уравнения получено А.Н. Крыловым (1936 г.): 1 2 3 4 , m x x x x C A C B C C C D где C1, C2, C3, C4 – постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий: ch( ) cos( ) / 2; x A kx kx sh( ) sin( ) / 2; x B kx kx ch( ) cos( ) / 2; x C kx kx sh( ) sin( ) / 2. x D kx kx Для определения постоянных необходимо использовать выражения для производных: 1 2 3 4 ( ), m x x x x k C D C A C B C C 2 1 2 3 4 ( ), m x x x x k C C C D C A C B 3 1 2 3 4 ( ). m x x x x k C B C C C D C A Здесь коэффициент k – волновой множитель, зависящий от свойств материала и частоты колебаний: 2 4 , m k EI (1) где E – модуль Юнга материала волновода (для АМг4 E=71 ГПа); m – масса волновода на единицу длины (для рассматриваемого случая m = = bhlρ = 0,03 · 0,004 · 1 · 2670 = 0,320 кг/м), круговая частота ï 2 f , где ï f – резонансная частота собственных колебаний пластины. Для определения характера распространения колебаний в зависимости от условий закрепления пластины воспользуемся алгоритмом, описанным Б.В. Булгаковым (1954 г). По данному алгоритму граничные условия записываются в развернутом виде, что приводит к однородным уравнениям относительно постоянных. Для того чтобы постоянные не равнялись нулю, нужно, чтобы определитель, составленный из коэффициентов системы уравнений, был равен нулю. Расчетная схема показана на рис. 3. Необходимо выбрать место приложения ультразвуковых колебаний x, чтобы в зоне сварки lсв
RkJQdWJsaXNoZXIy MTk0ODM1