OBRABOTKAMETALLOV Vol. 25 No. 1 2023 35 TECHNOLOGY Аналогично рассуждениям предыдущего раздела в последующем необходимо перейти во временну́ю область, проведя замену p = jω, а характеристический полином системы управления не что иное, как определитель матрицы A, т. е. следующее выражение: ( ) det ( ) D j A j 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a j a j a j a j a j a j a j a j a j a j a j a j a j a j a j a j . (34) Таким образом, выражение (34) – вектор Михайлова, который нужно исследовать на поведение на комплексной плоскости при изменении частоты ω от нуля до бесконечности. Результаты моделирования и обсуждение второй гипотезы Для адекватного сравнения результатов экспериментов в предыдущем разделе и удобства представления поведения системы моделирование проводилось аналогично предыдущему варианту в пакете Matlab/Simulink 2014, где в Simulink напрямую моделировалась система (29), а вектор Михайлова (34) рассчитывался циклом в самом Matlab, где на каждом шаге цикла считался определитель ( ) D j для конкретного значения частоты ω, и полученное значение откладывалось на комплексную плоскость, затем все повторялось. В целом рассчитывалось значение ( ) D j для ω от нуля до 4400 Гц с шагом 0.01 Гц. Результаты моделирования для случая обработки со скоростью резания 900 оборотов в минуту приведены ниже. Рассмотрим динамику нелинейной системы резания при скорости резания в 900 оборотов в минуту и h = 0.24 мм, график координат деформационного движения вершины инструмента и соответствующие им фазовые траектории показаны на рис. 10. Динамика процесса резания, отраженная в рис. 10, показывает устойчивый процесс обработки, который связан с минимизацией вибрационной активности инструмента. Запас устойчивости можно оценить по точке начала годографа вектора Михайлова на комплексной плоскости, который показан на рис. 11. Как видно из рис. 11, запас устойчивости зависит от расстояния кривой начала годографа от начала координат комплексной плоскости. Вторая часть графика годографа не информативна, так как потеря устойчивости отображается в начале годографа. Исходя из этих соображений в дальнейшем вторая часть (окончание годографа) приводиться не будет. Рассмотрим анализ устойчивости системы управления резанием при износе в 0.36 мм, результаты моделирования годографа вектора Михайлова представлены на рис. 12. На рис. 12 показано, что начало годографа вектора Михайлова по-прежнему далеко от начала координат, но здесь ярко проявляется регенеративный эффект, который в линеаризованной системе уравнений описывается оператором запаздывания v jT e . Влияние этого оператора на начальном участке при увеличении скорости резания становится более значительным, что приводит к увеличению колебаний годографа вектора Михайлова на начальном отрезке характеристики. В результате такого изменения характеристики годографа вектора Михайлова потеря устойчивости может быть связана с его вхождением во второй квадрант и последующим возвращением в первый квадрант. Точка, где годограф наиболее приближен ко второму квадранту (точка сближения на графике), и будет определять запас устойчивости системы резания. Из рис. 12 видно, что годограф вектора Михайлова резанием действительно выходит из первого квадранта по причине влияния на него оператора запаздывания. Рассмотрим более приближенно эту точку на рис. 12 справа, откуда видно, что механизм отражения потери устойчивости в системе резания на годографе вектора Михайлова связан с пересечением годографом мнимой оси в направлении второго квадранта комплексной плоскости. Такое изменение в поведении годографа связано с возрастанием эффекта самовозбуждения системы резания, который в англоязычной научной литературе и принято называть регенеративным эффектом. Для дальнейшего анализа системы управления резанием сформируем в одну таблицу все полученные в этой части работы данные о верх-
RkJQdWJsaXNoZXIy MTk0ODM1