OBRABOTKAMETALLOV Vol. 28 No. 1 2026 17 TECHNOLOGY приводит к уменьшению высоты потока примерно в 8,5 раза. Аналогичным образом определены высота и время формирования потоков для остальных рассматриваемых жидкостей (результаты приведены в таблице ниже). Во всех случаях поток с большой скоростью проходит более 50 % от максимальной высоты и далее очень медленно останавливается. Распределение скорости потока по его высоте будет следующее: максимальное значение под излучателем V0, далее на протяжении до 80 % высоты снижение до скоростей менее 10 % от начальной, затем постоянно замедляющееся течение с низкой скоростью. Физико-математическое описание характера движения акустического потока Рассмотренный характер крупномасштабного акустического потока соответствует механизму формирования в жидкости «затопленной струи». Будем считать, что скорость на границе пограничного слоя под излучателем и остальной жидкости определяется как V(0 < t) = V0r(t), где r(t) – единичная функция, r(t) = 0 при t < 0 и r(t) = 1 при ≥ 0 t ; V0 – абсолютное значение скорости на границе. Если предположить что в жидкости gradP = 0 и отсутствуют массовые силы акустической природы, тогда уравнение гидродинамики Навье – Стокса можно записать в следующем виде: ∂ η ∂ − = ∂ ρ ∂ 2 2 0 0 V V t x , (4) где η – динамическая вязкость жидкости; ρ0 – плотность жидкости; η/ρ0 = μ – кинематическая вязкость жидкости. Начальные и граничные условия: V(x, 0) = 0, V(0, t) = V0r(t). Применим преобразование Лапласа по времени t: ∞ ∞ − − ∂ ∂ − μ = ∂ ∂ ∫ ∫ 2 2 0 0 0 pt pt V V e dt e dt t x , где F(p) – изображение функции. Так как ∞ − ∂ = − ∂ ∫ 0 ( , ) ( , 0) pt V e dt pV x p V x t , то ∞ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ 2 2 0 pt V V e dt t x . Тогда из формулы (1) получим ∂ − − μ = ∂ 2 2 ( , ) ( , 0) 0 V x p pV V x dt x . Введем обозначения: = μ = 2 ; . V u a (5) Выражение приобретает вид линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: ′′ − = 2 0 a u pu . (6) Характеристическое уравнение: − = 2 2 0 a k p ; = 2 2 p k a ; = ± 1, 2 p k a . Для случая ≠ 1 2 k k общее решение уравнения (6) имеет вид − = + 1 2 p p x x a a u C e C e . Поскольку необходимо получить ограниченное решение, в первом слагаемом примем С1 = 0, что приводит к следующему выражению: − = 2 p x a u C e . (7) При граничном условии V0 = V(0, t) − = = = 0 0 0 pt x V u e V dt p . Тогда из выражения (7) имеем = 0 2 V C p . Подставим данное значение в уравнение (5) и с учетом, что = V u, получим − = 0 p x a V V e p .
RkJQdWJsaXNoZXIy MTk0ODM1