OBRABOTKAMETALLOV Vol. 28 No. 1 2026 67 TECHNOLOGY 1 , 0,1 . 2 RMSE { } = ∂ ∂ ∈ ∂β ∂β j j S j S Для β0: 0 0 1 1 2 RMSE 1 . RMSE n n i i i i S e e n n = = ∂ ∂ = − ⇒ = ∂β ∂β ∑ ∑ Для β1: 1 1 =1 =1 2 1 = {–} . RMSE RMSE = ∂ ∂ ⇒ ∂β ∂β ∑ ∑ n n i i i i S x e x e i i n n Таким образом, гладкость и дифференцируемость функции RMSE обеспечивают возможность аналитического нахождения оптимальных коэффициентов регрессии и применения градиентных методов для их оценки. Чтобы рассчитать необходимый объем выборки для исследования, используется формула, основанная на требованиях к точности, уровню доверия и ожидаемой изменчивости данных. Формула для бесконечной генеральной совокупности: 2 2 (1 ) Z p p n E − = , где n – объем выборки; Z – квантиль стандартного нормального распределения, соответствующий уровню доверия; p – предполагаемая доля или вероятность; E – допустимая погрешность, которая уменьшается с ростом числа наблюдений: 1 2 / −α σ ∝ Z E n , где Z1–α/2 – квантиль уровня значимости; σ – стандартное отклонение. Когда размер генеральной совокупности (N) известен, объем выборки уменьшается, учитывая ограниченный масштаб. Тогда применяется уточненная формула для конечной совокупности: 2 2 2 (1 ) ( 1) (1 ) NZ p p n E N Z p p − = − + − . При оценке корреляции объем выборки также зависит от ожидаемой величины корреляции (r). Формула может быть адаптирована для использования мощности теста [16, 17] (1 – β) и уровня значимости (α): ( )2 1 2 1 2 / −α −β − = Z Z n r , где Z1–β – квантиль мощности теста. Следует отметить, что эта формула дает лишь приближенную оценку и не учитывает нелинейность распределения коэффициента корреляции. Более корректный расчет объема выборки при проверке гипотезы о корреляции обычно выполняется на основе преобразования Фишера, позволяющего перевести коэффициент корреляции в нормально распределенную величину и тем самым обеспечить точность статистической оценки: 2 1 2 1 + 3. 1 1 + 2 1 / ln −α −β − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ ⎝ ⎠ Z Z n r r Вместе с этим для конечной генеральной совокупности применяют поправку: . 1 1 n n n N = − + Для вычисления квантилей уровня значимости и мощности необходимо рассчитать значение, ниже которого находится определенная часть данных стандартного нормального распределения для заданной вероятности. Это достигается с использованием функции точки вероятности (percent point function, PPF) – обратной функции к кумулятивной функции распределения (cumulative distribution function, CDF): – для непрерывного распределения ( ) ( ) ( ) , x F x P X x f t d t −∞ = ≤ = ∫ где F(x) – CDF, значение функции распределения для точки x; P (X ≤ x) – вероятность того, что X меньше или равно x; f (t) – плотность вероятности (probability density function, PDF); – для дискретного распределения ( ) ( ) ( ), t x F x P X x P X t ≤ = ≤ = = ∑ где P (X = t) – вероятность конкретного значения t. Для нормального распределения при условии, что среднее равно нулю, а стандартное отклонение равно единице, значение CDF вычисляется как 2 2 ln 1 ( ) , 2 t F x e dt x − = π −∞ ∫ где eln – основание натурального логарифма.
RkJQdWJsaXNoZXIy MTk0ODM1