Obrabotka Metallov 2014 No. 3

ОБРАБОТКА МЕТАЛЛОВ № 3 (64) 2014 85 ТЕХНОЛОГИЯ в узлах. Очевидно, что для решения системы уравнений (1) необходимо, чтобы в каждом уравнении было задано либо перемещение, либо усилие. 2. Дифференцированием перемещений рас- считываются деформации:   { } [ ]{ }, D u (2) где {  } – столбец деформаций в узлах; [ D ] – ма- трица дифференцирования перемещений в узле. Матрица [ D ] в случае плоского напряженного состояния имеет вид                    0 [ ] 0 . x D y y x (3) 3. По найденным деформациям определяют- ся напряжения:    { } [ ]{ }, E (4) где {  } – столбец напряжений в узлах; [ E ] – ма- трица упругости. Матрица упругости для изотропного матери- ала имеет вид                 2 1 0 [ ] 1 0 , 1 0 0 (1 ) / 2 E E (5) где E – модуль Юнга;  – коэффициент Пуассона. Следует отметить, что для плоских конечных элементов матрица жесткости может быть запи- сана в виде [5]   T [ ] [ ] [ ][ ] , V K B E B dV (6) где [ B ] – матрица дифференцирования переме- щений плоского элемента; [ B ] T – транспониро- ванная матрица [ B ]. Матрица [ B ] для плоского линейного треу- гольного элемента может быть записана как            23 31 12 32 13 21 32 23 13 31 21 12 0 0 0 1 [ ] 0 0 0 , 2 y y y B x x x A x y x y x y (7) где   ij i j x x x ,   ij i j y y y , ( i , j , = 1, 2, 3); А – площадь треугольника, А = ( x 13 y 23 – x 23 y 13 )/2. Запишем развернутую систему уравнений (1) для линейного треугольного элемента в плоской постановке. Каждый узел имеет две степени сво- боды – u (перемещение по оси x ) и v (перемеще- ние по оси y ). В каждом узле действуют усилия f x и f y соответственно по оси x и y .                                                             1 11 12 13 14 15 16 1 1 21 22 23 24 25 26 1 2 31 32 33 34 35 36 2 41 42 43 44 45 46 2 2 51 52 53 54 55 56 3 3 61 62 63 64 65 66 3 3 x y x y x y f k k k k k k u f k k k k k k v f k k k k k k u k k k k k k v f k k k k k k u f k k k k k k v f    . (8) Предположим, что узлы 1 и 2 жестко закре- плены, т. е. перемещения u 1 = v 1 = u 2 = v 2 = 0. Тогда в матрице жесткости можно вычеркнуть соответствующие столбцы и строки [4]. В этом случае система уравнений примет вид                        3 55 56 3 65 66 3 3 , x y f k k u k k v f (9) или в виде линейных уравнений         55 3 56 3 3 56 3 66 3 3 ; . x y k u k v f k u k v f (10) Теперь предположим, что узел 3 находится в контакте с поверхностью индентора, которая описывается полиномом первой степени. Эта поверхность смещается на некоторую величи- ну по направлению, противоположному оси y (рис. 5). Это приводит к тому, что узел 3 смеща- ется по контактной поверхности. Перепишем систему уравнений (10), выразив смещения узлов разностью конечных и началь- ных координат узла:                       ê í ê í 55 3 3 56 1 3 0 3 3 ê í ê í 56 3 3 66 1 3 0 3 3 ; . x y k x x k a x a y f k x x k a x a y f (11) В выражениях (11) верхние индексы «к» и «н» обозначают соответственно конечную (по- сле смещения индентора) и начальную (до сме- щения индентора) координату узла 3, при этом начальные координаты узла известны. Учитывая, что узел 3 после смещения инден- тора лежит на контактной поверхности, которая