Obrabotka Metallov 2014 No. 3

ОБРАБОТКА МЕТАЛЛОВ № 3 (64) 2014 86 ТЕХНОЛОГИЯ Рис. 5. Деформирование элемента под действием индентора описывается полиномом первой степени, можно записать   ê ê 3 1 3 0 . y a x a (12) Используя (12), выражения (11) можно пере- писать в следующем виде:                       ê í ê í 55 3 3 56 1 3 0 3 3 ê í ê í 56 3 3 66 1 3 0 3 3 ; . x y k x x k a x a y f k x x k a x a y f (13) Таким образом, получена система из двух уравнений, которая содержит три неизвестные величины: конечная координата узла 3 по оси  ê 3 x x ; усилия по оси x и  3 x y f и 3 y f . Решением выражений (13) будет такое зна- чение ê 3 x , при котором полная потенциальная энергия системы будет минимальной [6]. В условиях медленного деформирования (ки- нетическая энергия при деформировании равна нулю) и при отсутствии пластических деформа- ций [7] U = W , (14) где U – полная потенциальная энергия системы; W – работа, совершаемая силами 3 x f и 3 y f . В свою очередь,           ê í ê í 3 3 3 3 3 3 1 . 2 x y W f x x f y y (15) Объединив выражения (13) и (15), с учетом (12) окончательно получим               ê í ê í 55 3 3 56 1 3 0 3 3 ê í ê í 56 3 3 66 1 3 0 3 3 ê í ê í 3 3 3 1 3 0 3 3 ; ; 2 min . x y x y k x x k a x a y f k x x k a x a y f f x x f a x a y                       (16) Решение выражений (16) возможно с исполь- зованием различных численных методов. Результаты Приведем решение для следующих исходных данных. 1. Начальные координаты узлов Узел Координата x , мм Координата y , мм 1 0 0 2 10 0 3 10 7 2. Толщина треугольного элемента постоянна и составляет t = 1 мм. 3. Свойства материала – E = 200 ГПа,  = 0,3. 4. Тогда коэффициенты матрицы жесткости k 55 , Н/м k 56 , Н/м k 65 , Н/м k 66 , Н/м 27 472 527,47 0 0 78 492 935,64 5. Коэффициенты аппроксимации контакт- ной поверхности после смещения: a 1 = –0,4, a 0 = 10,9. Задавая различные значения ê 3 x в системе (16), можно рассчитать значения усилий в узлах и значение потенциальной энергии. Решение бу- дет соответствовать минимуму полной потенци- альной энергии при ê 3 9, 92 x  мм (рис. 6). Тогда остальные параметры примут значения:   ê 3 6, 93 y мм;    3 2197,8 x f Н;    3 5337,5 y f Н. Обсуждение Таким образом, показана возможность реше- ния контактных задач путем включения аппрок- симации контактной поверхности непосред- ственно в базовую систему линейных уравнений метода конечных элементов. Этот подход имеет значительные преимуще- ства по сравнению с традиционным решением