Obrabotka Metallov 2014 No. 4

ОБРАБОТКА МЕТАЛЛОВ № 4 (65) 2014 72 ТРУДЫ КОНФЕРЕНЦИИ распределенными моментами разных знаков    1 2 M M M , приложенными в двух взаим- но-перпендикулярных направлениях вдоль диа- гоналей [21]. Предполагается, что в начальный момент пластина деформируется упруго и по- верхности изгиба совпадают со срединной по- верхностью. С учетом гипотезы прямых нормалей для полных деформаций в главных осях имеем си- стему уравнений: z         1 2 1 1 1 ( ) / ( ), c E k (15) z         2 1 2 2 2 ( ) / ( ) c E k . (16) Здесь i k – главные кривизны; z    / 2 / 2, h h  i – смещения нейтральных поверхностей изги- ба от срединной поверхности вследствие разно- сопротивляемости материала при растяжении и сжатии при ползучести. На нейтральных поверх- ностях изгиба одно из главных напряжений обра- щается в нуль. Модуль упругости одинаков при растяжении и сжатии и равен Е = 59 000 МПа/м 2 , коэффициент Пуассона  = 0,4. Интегральные уравнения для моментов z z       /2 1 1 1 /2 ( ) , h h M d z z       /2 2 2 2 /2 ( ) h h M d . Поскольку задача асимметрична, то z z z       1 2 ( ) ( ) ( ) c c c ,   1     2 ,  1 k   2 , k k z   1 ( ) z    2 ( ) z   ( ),    1 2 . M M M После ряда преобразований (15) и (16), инте- грирования по толщине пластины, а также с уче- том того, что z     /2 /2 0 h h d , определяются кри- визна, смещение и напряжение: z z z                                     /2 /2 3 2 (1 ) / ( )( ) (1 ) 12 (1 ) h c h M E d k h h , (17) z z          /2 /2 (1 ) ( ) (1 ) h c h d kh , (18) z z z z                        2 ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) c c k k E . (19) Скорости деформаций ползучести (9)     z z z z                   1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 ( ) 1 2 ( ) ( ) , 2 ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) , 2 ( ) n c i c i n c i c i d B dt d B dt (20) где  k – трансформированное пространство (8),       z z z z         1/2 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) i ,     z z z z               1/2 2 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 c c c c c i . К системе (17)–(20) добавляются начальные условия, нормаль пластины разбивается на l рав- ных интервалов. Полученная система обыкно- венных дифференциальных уравнений первого порядка относительно деформаций в точках раз- биения пластины решается методом Рунге–Кут- ты–Мерсона [22]. Выполнены также расчеты на кручение пла- стины в конечно-элементном комплексе Ansys в геометрически нелинейной постановке, учиты- вающей мембранные усилия с использованием констант только на растяжение или только на сжатие. Вычисления проводились с применени- ем 3D элемента Solid45, который был оттестиро- ван [23], и с разбиением 4 элемента по толщине пластины, 12×12 элементов в плоскости. Увели- чение плотности конечно-элементной сетки в полтора раза приводило к уменьшению прогиба и кривизны не более чем на 2 %. Результаты и обсуждение На рис. 4, а точками 1 изображены экспе- риментальные значения зависимости кривиз- ны от времени при кручении пластины с раз-