Actual Problems in Machine Building 2014 No. 1

I Международная научно-практическая конференция « Актуальные проблемы в машиностроении » Технологическое оборудование, оснастка и инструменты __________________________________________________________________ 303 кривизны поверхности ) ( RE приблизилась к 4–5 мм. При этом было установлено, что независимо от начальной геометрической формы абразивных гранул (произвольная – бой абразивных кругов, прямая трехгранная призма и куб) их поверхности в процессе вибрационной обработки постепенно приближались к форме шара, т.е. к поверхности равной кривизны. В связи с вышеизложенным полагаем, что минимально возможный радиус поверхности равной кривизны следует рассматривать, как важный геометрический параметр абразивных гранул, определяющий меру устойчивости их формы. По нашему мнению, его можно использовать при проектировании требуемых в «технологическом смысле» абразивных гранул, исключающих процесс обкатки. Поэтому данный минимальный радиус поверхности равной кривизны был назван фрактальным радиусом и обозначен 0 R . При нахождении расчетной формулы, определяющей значение 0 R , была разработана математическая модель контактного участка абразивных гранул в виде сферической поверхности и рассмотрен момент его начального касания с плоскостью. Обоснованность такого подхода заключается в следующем. Все замкнутые поверхности (поверхность куба, конуса, призмы, цилиндра, а также поверхности произвольных геометрических тел) являются гомеоморфные между собой, т.е. они наделены одинаковыми свойствами, мерой которых являются топологические инварианты. Общим топологическим инвариантом для абразивных гранул, выполненных в виде шара, куба, тетраэдра, призмы, боя абразивных кругов и других, является их контактный участок, который гомеоморфен сфере. Задача определения минимального радиуса 0 R абразивных гранул была решена в следующей последовательности. Рассмотрено и проанализировано построение касательной прямой в точке супремума случайной функции, аппроксимирующей профиль поверхности рельефа и геометрическую форму абразивных гранул. Из условия сплошности поверхности абразивных гранул и их обкатанности случайная функция )(   была принята непрерывной и дифференцируемой. Изменение полярного угла  вследствие замкнутости контура абразивных гранул также принято от 0 до  2 [3]. На этой основе установлена функциональная связь между координатами точки касания прямой, моделирующей контур обрабатываемой детали, и профилем контактного участка гранул. В математическом ожидании получено следующее выражение:     ) ( ) ( sup ) ( sup RE f E f E i i         , (1) где sup – оператор наибольшего значения функции; Е – оператор математического ожидания.