ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК
ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Аннотация
Моделируется регулярное поведение возмущений твердотельного вращения правильного вихревого многоугольника (решения Кельвина). Для получения решения, являющегося обобщением решения Кельвина, используется процедура редукции уравнений динамики вихревой системы. В результате редукции получены уравнения второго порядка, описывающие частные решения уравнений динамики систем двух, четырех, шести, восьми, десяти, двенадцати вихрей. Получены численные решения этих уравнений. Описана структура фазового пространства решений. Фазовые портреты построенных решений иллюстрируют изменение устойчивости систем в зависимости от числа вихрей. Свойство устойчивости, известное для систем с малым (меньше восьми) числом вихрей проявляется в том, что неподвижная точка, соответствующая решению Кельвина, является внутренней точкой области, образованной замкнутыми фазовыми кривыми. При рассмотрении неустойчивых систем с восьмью, десятью и двенадцатью вихрями наблюдается распад областей нейтрально устойчивых колебаний, при этом решение Кельвина оказывается предельным для решений принадлежащих различным областям фазового пространства. Фазовые портреты в системах восьми, десяти и двенадцати вихрей оказываются типичными, что позволяет предположить существование универсального механизма возникновения хаотического поведения в этих системах.

Список литературы

1. Борисов А.В., Килин А.А., Мамаев И.С. Редукция и хаотическое поведение точечных вихрей на плоскости и сфере // Нелинейная динамика. – 2005. – Т. 1, № 2. – С. 233–246.
2. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика двух вихревых колец на сфере // Нелинейная динамика. – 2006. – Т. 2, № 2. – С. 181–192.
3. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Яненко Н.Н. О построении дискретных вихревых моделей течений идеальных несжимаемых жидкостей // ЖВММФ. – 1986. – Т. 26, № 1. – С. 103–113.
4. Рудяк В.Я., Савченко С.О. О развитии неустойчивости в кольцевых сдвиговых слоях // Доклады АН ВШ РФ. – 2002. – № 2 (6). – С. 42–51.
5. Kelvin W.T. Floating magnets (illustrating vortex systems) // Mathematical and Physical Papers. – Cambridge: Cambridge University Press, 1910. – Vol. 4. – P. 135–140.
6. Thompson J.J. A treatise on the motion of vortex rings. – London: Macmillan, 1883. – P. 94.
7. Havelock T.H. The stability of motion of rectilinear vortices in ring formation // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. – 1931. – Vol. 11, N 70. – P. 617–633. – doi: 10.1080/14786443109461714.
8. Куракин Л.Г., Юдович В.И. О нелинейной устойчивости стационарного вращения правильного вихревого многоугольника // Доклады Академии наук. – 2002. – Т. 384, № 4. – С. 476–482.
9. Куракин Л.Г. Об устойчивости томсоновского вихревого пятиугольника внутри круга // Нелинейная динамика. – 2011. – Т. 7, № 3. – С. 465–488.
10. Lewis D., Ratiu T. Rotating n-gon/kn-gon vortex configurations // Journal of Nonlinear Science. – 1996. – Vol. 6. – P. 385–414. – doi: 10.1007/BF02440160.
11. Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Устойчивость полигональной системы гауссовских вихрей // Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике: тезисы докладов. – Новосибирск, 2005. – С. 110–111.
12. Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Линейная устойчивость системы гауссовских вихрей // Сибирский журнал индустриальной математики. – 2005. – Т. 8, № 3. – С. 8–17.
13. Rudyak V.Ya., Bord E.G., Kranchev D.F. Stohastic properties of a system of point vortices // Technical Physics Letters. – 2004. – Vol. 30, N 3. – P. 225–227. – doi: 10.1134/1.1707175.
14. Рудяк В.Я., Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Динамический хаос в полигональной системе точечных вихрей // Доклады АН ВШ РФ. – 2004. – № 2. – С. 48–57.
15. Рудяк В.Я., Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Устойчивость некоторых дискретных вихревых систем // Потоки и структуры в жидкостях: тезисы докладов. – М., 2005. – С. 268–269.
16. Борд Е.Г. О нелинейных возмущениях правильной полигональной системы вихрей // Нелинейная динамика. – 2006. – Т. 2, № 3. – С. 53–360. – doi: 10.20537/nd0603008.
17. Борд Е.Г. Нелинейные возмущения правильной полигональной вихревой системы // Современные проблемы теоретической и прикладной механики: тезисы докладов
    
    Всероссийского семинара по теоретической и прикладной механике, Новосибирск,
    
    10–12 апреля 2007 г. – Новосибирск, 2007. – С. 27.
18. Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Устойчивость и динамический хаос в дискретных вихревых системах // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: тезисы докладов. – Н. Новгород, 2006. – Т. 2. – С. 36–37.
19. Bord E.G. Nonlinear disturbances of vortex octagon [Electronic resource] // IV International Symposium on Bifurcation and Instabilities in Fluid Dynamics, Barcelona, Spain, 18–21 July 2011. – URL: http://congress.cimne.com/bifd2011/Admin/Files/FileAbstract/a4.pdf (accessed: 07.04.2017).