ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК
ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Аннотация
Рассматривается задача Коши для указанного в названии статьи класса систем с непрерывными ограниченными коэффициентами с начальными данными в пространстве Соболева Н¹ [0,1] соответствующей размерности. Имеет место однозначная разрешимость этой задачи в классе функций, принадлежащих пространству Н¹ на каждом отрезке полуоси  [0, ∞). Исследуется экспоненциальная устойчивость решений сведением к такой же задаче для разностного уравнения в фазовом пространстве Н¹ [0,1] вида u_n=Г_nu_n-1 с компактным оператором Г_n , где u_n – возмущение на  n-м шаге. Развит вариант прямого метода Ляпунова применительно к этой ситуации. Функционал Ляпунова и его разностная производная вдоль траектории системы – эрмитовы формы в Н¹. Доказано необходимое и достаточное условие экспоненциальной устойчивости в Н¹-топологии в терминах операторных неравенств. В выполняемых построениях существенную роль играет свойство абсолютной непрерывности функций из пространства Соболева, позволившее рассматривать их как векторы вида [φ', φ(0)]^Т и операторы в этом пространстве – как операторные матрицы второго порядка, действующие на эти векторы. Выбран вариант метрики в Н¹, удобный для построений в этой системе отсчета. Приведен иллюстрирующий пример.

Список литературы

1. Алексенко Н. В., Романовский Р. К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами. Дифференциальные уравнения, 2001, Т. 37, № 2, С. 147-153.
2. Троценко Г. А. Об устойчивости решений линейных систем с последействием с почти периодическими коэффициентами. Доклады Сибирского отделения Академии наук высшей школы, 2001,  № 1,  С. 37–44.
3. Троценко Г. А. Об устойчивости решений линейных почти периодических дифференциально-разностных систем нейтрального типа. Доклады Сибирского отделения Академии наук высшей школы,  2003,  № 1,  С.43-50.
4. Романовский Р. К., Троценко Г. А. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем нейтрального типа с почти периодическими коэффициентами. Сибирский математический журнал,  2003,  Т. 44,  № 2,  С.444–453.
5. Романовский Р. К., Троценко Г. А., Алексенко Н. В. Метод функционалов Ляпунова для почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений. Омск: Издательство Омский государственный технический университет,  2007,  89 с.
6. Эванс Л. К. Уравнения с частными производными. Новосибирск: Издательство «Тамара Рожковская»,  2003,  560 с.
7. Романовский Р. К., Назарук Е. М. Спектральный критерий экспоненциальной дихотомии для линейной автономной системы функционально-дифференциальных уравнений. Доклады Академии наук высшей школы Российской федерации,  2012,  № 1,  С. 19–27.