ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК
ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Аннотация
В статье анализируется вычислительная эффективность методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), получаемых при использовании различных постановок для решения трехмерных задач магнитотеллурических зондирований и аэроэлектроразведки. Рассматриваются соответствующие математические модели в виде краевых задач и эквивалентных вариационных формулировок и результаты численных экспериментов. Результаты моделирования гармонических полей в задачах магнитотеллурики и аэроэлектроразведки показали, что наиболее вычислительно эффективным является метод решения СЛАУ, основанный на методе сопряженных невязок для комплексных матриц со специальным предобусловливателем, при использовании векторно-скалярной постановки. Исключение составляет только область самых низких частот в задачах магнитотеллурики, где наибольшую эффективность показал специальный блочный итерационный метод минимизации невязки, реализованный для СЛАУ, получаемых при использовании постановки для узлового метода конечных элементов. Однако с увеличением частоты поля этот метод переставал сходиться, и в этом диапазоне не слишком низких частот наиболее вычислительно эффективным так же, как в области средних и высоких частот, оказывался метод моделирования, основанный на использовании векторно-скалярной постановки и метода COCR (Conjugate A-Orthogonal Conjugate Residual Method).

Список литературы

1. Персова М.Г., Соловейчик Ю.Г., Тригубович Г.М. Компьютерное моделирование геоэлектромагнитных полей в трехмерных средах методом конечных элементов, Физика Земли, 2011, № 2, с. 3–14.
2. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов длярешения скалярных и векторных задач. Новосибирск: НГТУ, 2007, 896 с.
3. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев В.С., Тригубович Г.М. Моделирование нестационарных электромагнитных полей в трехмерных средах методом конечных элементов, Физика Земли, 1998, № 10, с. 78–84.
4. Рояк М.Э., Рояк С.Х., Соловейчик Ю.Г., Тригубович Г.М. Конечноэлементное моделирование трехмерных гармонических электромагнитных полей в задачах аэроэлектроразведки кимберлитовых трубок, Сибирский журнал индустриальной математики, 1998, т.1, № 2, с. 154–168.
5. Edlinger R., Biro O. A joint vector and scalar potential formulation for driven high frequency problems using hybrid edge and nodal finite elements. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 1996, vol. 44, pp. 15–23.
6. Mukherjee S., Everett M.E. 3D controlled-source electromagnetic edge-based finite element modeling of conductive and permeable heterogeneities. Geophysics, 2011, vol. 76, no. 4, pp. F215–F226.
7. Домников П.А., Киреева С.В., Персова М.Г., Соловейчик Ю.Г. Конечноэлементное моделирование трехмерных магнитотеллурических полей с применением технологии деревьев-кодеревьев и постановки с совместным использованием векторного и скалярного потенциалов, Научный вестник НГТУ, 2011, № 3, с. 43–52.
8. Saad Y., Schultz M. GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems. SIAM Journal on Scientific Computing, 1986, vol. 7, pp. 856–869.
9. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. 2nd ed, SIAM, Philadelphia, 2003, 528 p.
10. Vorst Van der H.A., Melissen J.B.M. A Petrov-Galerkin type method for solving Ax=b, where A is symmetric complex. IEEE Transaction on Magnetics, 1990, vol. 26, no. 2, pp.706–708.
11. Sogabe T., Zhang S.-L. A COCR method for solving complex symmetric linear systems. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2007, vol. 199, pp. 297–303.
12. Персова М.Г. Соловейчик Ю.Г. Домников П.А., Задорожный А.Г. Сравнение возможностей векторного и узлового МКЭ при решении трехмерных задач магнитотеллурических зондирований, Научный вестник НГТУ, 2011, № 2 (43), с. 83–96.
13. Домников П.А. Метод решения систем уравнений, возникающих при конечно-элементной аппроксимации гармонических по времени электромагнитных полей, Сборник научных трудов НГТУ, 2009, № 2 (56), с. 41–46.
14. Бердичевский М.Н., Дмитриев В.И. Модели и методы магнитотеллурики. М.: Научный мир, 2009, 780 с.
15. Mifune T., Takahashi Y., Iwashita T. Folded Preconditioner: A New Class of Preconditioners for Krylov Subspace Methods to Solve Redundancy-Reduced Linear Systems of Equations. IEEE Transactions on Magnetics, 2009. vol. 45, no. 5, рр. 2068–2075.