Селезнёв Вадим Александрович,
Аркашов Николай Сергеевич
Аннотация
В работе получены условия формирования математических моделей суб- и супердиффузии в случае, когда фазовое пространство процесса параметризуется самоподобным континуумом, инвариантным относительно системы итерированных функций. Моделирование аномальных процессов переноса в виде суб- и супердиффузии в известной зарубежной и отечественной литературе отражено в виде поиска моделей, обобщающих винеровский процесс. Примером такого процесса является известное фрактальное броуновское движение, которое в некоторых работах формально рассматривают как процесс суб- или супердиффузии в зависимости от значения параметра Херста и для которого до сих пор не найдено физических реализаций. Нами предложен способ моделирования суб- и супердиффузии, реализующий процесс блуждания частицы и связанный с выбором системы наблюдения винеровского процесса. Это позволяет моделировать параллельные фазовые пространства в случае, когда физический процесс не попадает под формат феноменологической модели. Постановку такой задачи можно найти, например, в [1]. Ключевым моментом моделирования процесса суб- и супердиффузии на двоично-рациональной решетке является построение счетно-аддитивной хаусдорфовой меры на этой решетке, в замыкании которой лежит фазовое пространство процесса, параметризованное континуумом.
Ключевые слова: самоподобные множества, аномальный перенос, мера Хаусдорфа, субдиффузия, супердиффузия
Авторы:
Селезнёв Вадим Александрович
д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики НГТУ. Область научных интересов: методы геометрической теории функций в задачах математической физики. Опубликовано более 50 работ. (Адрес: 630005, Россия, Новосибирск, Крылова 41–56, e-mail: selvad@ngs.ru).
Аркашов Николай Сергеевич
канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент кафедры высшей математики НГТУ. Область научных интересов: функциональные предельные теоремы теории вероятностей. Опубликовано более 10 работ. (Адрес: 630060, Россия, Новосибирск,
Экваторная 18–57, e-mail: nicky1978@mail.ru).
Список литературы
- Заславский Г.М. Гамильтонов хаос и фрактальная динамика: пер. с англ. – М.: Регулярная и хаотическая динамика; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2010. – 472 c.
- Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // Успехи физических наук. – 2003. – Т. 173, № 8. – C. 847–876. – doi: 10.3367/UFNr.0173.200308c.0847.
- Metzler R., Klafter J. The random walk’s guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Physics Reports. – 2000. – Vol. 11, iss. 2. – P. 69–80. – doi: 10.1016/S0370-1573(00)00070-3.
- Зеленый Л.М., Милованов А.В. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // Успехи физических наук. – 2004 . – Т. 174, № 8. – C. 809–852. – doi: 10.3367/UFNr.0174.200408a.0809.
- Аркашов Н.С., Селезнев В.А. О модели случайного блуждания на множествах с самоподобной структурой // Сибирский математический журнал. – 2013. – Т. 54, № 6. – С. 1216–1236.
- Hutchinson J. Fractals and self similarity // Indiana University Mathematics Journal. – 1981. – Vol. 30, № 5. – P. 713–747.
- Edgar G. Measure, topology, and fractal geometry. – New York: Springer, 2008. – 268 p.
