ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК
ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Аннотация
В 1967 году был открыт метод точного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений – метод обратной задачи рассеяния (МОЗР). Ключевой идеей МОЗР является сопоставление интегрируемому нелинейному уравнению линейных вспомогательных задач, интегрируемое нелинейное уравнение при этом представляется как условие совместности соответствующих линейных вспомогательных задач. Первоначально МОЗР был применен к интегрированию одномерных нелинейных эволюционных уравнений с временной и одной пространственной переменными. Сфера применимости МОЗР стремительно расширилась, помимо одномерных интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений оказались интегрируемыми и некоторые двумерные нелинейные эволюционные дифференциальные уравнения с временной и двумя пространственными переменными, такие как уравнение Кадомцева-Петвиашвили, уравнение Дэви–Стюардсона, уравнения Нижника–Веселова–Новикова и т. д. В настоящее время нелокальная проблема Римана–Гильберта,  и более общий метод  Захарова–Манакова, использующие современные методы теории функции комплексного переменного, являются основными инструментами для построения точных решений (2+1)-мерных интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений. В данной работе метод  Захарова–Манакова применен к построению новых классов точных решений двумерного интегририруемого обобщения нелинейного уравнения Савады–Котера (2DСК). Уравнение 2DСК является специальной редукцией более общей системы нелинейных уравнений для некоторых полевых переменных. Показано, как эта редукция может быть выполнена с помощью удовлетворения нелинейных ограничений на коэффициенты разложения волновой функции  линейных вспомогательных задач. Получены новые классы точных решений с функциональными параметрами уравнения 2DСК, содержащие в виде подклассов солитонные и периодические решения. На примере уравнения 2DСК продемонстрирована принципиальная возможность построения точных периодических решений двумерных нелинейных уравнений в рамках метода  Захарова–Манакова.

Список литературы

1. Дрюма В.С. Об аналитическом решении двумерного уравнения Кортевега-Де Вриза (КДВ) // Письма в ЖЭТФ. – 1974. – Т. 19, вып. 12. – С. 753–755.
2. Захаров B.E., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений матема­тической физики методом обратной задачи рассеяния // Функциональный анализ и его приложения. – 1974. – Т. 8, вып. 3. – С. 45–53.
3. Davey А., Stewartson K. On three-dimensional packet of surface waves [Electronic resource] // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. – 1974. – Vol. 338, iss. 1613. – P. 101–110. – URL: http://dx.doi.org/ 10.1098/rspa.1974.0076 (accessed: 09.11.2014).
4. Нижник Л.П. Интегрирование многомерных нелинейных уравнений методом обратной задачи // Доклады Академии наук СССР. – 1980. – Т. 254, № 2. – С. 332–335.
5. Веселов А.П., Новиков С.П. Конечнозонные двумерные потенциальные операторы Шрёдингера. Явные формулы и эволюционные уравнения // Доклады Академии наук СССР. – 1984. – Т. 279, № 1. – С. 20–24.
6. Теория солитонов: метод обратной задачи / С.П. Новиков, В.Е. Захаров, С.В. Манаков, Л.В. Питаевский. – М.: Наука, 1980. – 319 с.
7. Ablowitz M.J., Clarkson P.A. Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering. – Cambridge: Cambridge University Press, 1991. – 516 p.
8. Konopelchenko B.G. Introduction to multidimensional integrable equations: the inverse spectral transform in 2+1 dimensions. – New York: Plenum Press, 1992. – 292 p.
9. Konopelchenko B.G. Solitons in multidimensions: inverse spectral transform method. – Singapore: World Scientific, 1993. – 304 p.
10. Manakov S.V. The inverse scattering transform for the time-dependent Schrodinger equation and Kadomtsev-Petviashvili equation // Physica D: Nonlinear Phenomena. – 1981. – Vol. 3, iss. 1–2. – P. 420–427. – doi: 10.1016/0167-2789(81)90145-7.
11. Beals R., Coifman R.R. The D-bar approach to inverse scattering and nonlinear evolutions // Physica D: Nonlinear Phenomena. – 1986. – Vol. 18, iss. 1–3. – P. 242–249. – doi: 10.1016/0167-2789(86)90184-3.
12. Захаров В.Е., Манаков С.В. Построение многомерных нелинейных интегрируемых систем и их решений // Функциональный анализ и его приложения. – 1985. – Т. 19, вып. 2. – С. 11–25.
13. Zakharov V. E. Commutating operators and nonlocal problem // Plasma theory and Nonlinear and turbulent processes in Physics / ed. by N.S. Erokhin, V.E. Zakharov, A.G. Sitenko, V.M. Chernousenko, V.G. Bar'yakhtar. – Kiev: Naukova Dumka, 1988. – Vol. 1. – P. 152–158.
14. Bogdanov L.V., Manakov S.V. The non-local problem and (2+1)-dimensional soliton equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. – 1988. – Vol. 21, N 10. – P. L537–L544. – doi: 10.1088/0305-4470/21/10/001.
15. Fokas A.S., Ablowitz M.J. The inverse scattering transform for multidimensional (2+1) problems // Lecture Notes in Physics. – 1983. – Vol. 189. – P. 137–183.
16. Beals R., Coifman R.R. Linear spectral problems, non-linear equations and the method // Inverse Problems. – 1989. – Vol. 5, N 2. – P. 87–130. – doi: 10.1088/0266-5611/5/2/002.
17. Zakharov V.E. On the dressing method // Inverse Methods in Action / ed. by P.C. Sabatier. – Berlin: Springer, 1990. – P. 602–623.
18. Konopelchenko B.G., Dubrovsky V.G. Some new integrable nonlinear evolution equations in 2+1 dimensions // Physics Letters A. – 1984. – Vol. 102, iss. 1–2. – P. 15–17. – doi: 10.1016/0375-9601(84)90442-0.
19. Operator approach to the Kadomtsev-Petviashvili equation: transformation groups for soliton equation III / E. Date, M. Jimbo, M. Kashiwara, T. Miva // Journal of the Physical Society of Japan. – 1981. – Vol. 50, N 11. – P. 3806–3812. – doi: 10.1143/JPSJ.50.3806.
20. Захаров B.E., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. II // Функциональный анализ и его приложения. – 1979. – Т. 13, вып. 3. – C. 13–22.
21. Dubrovsky V.G., Lisitsyn Ya.V. The construction of exact solutions of two-dimensional generalizations of Kaup-Kupershmidt and Sawada-Kotera equations // Physics Letters A. – 2002. – Vol. 295, iss. 4. – P. 198–207. – doi: 10.1016/S0375-9601(02)00154-8.
22. Hu X.-B., Wang D.-L., Qian X.-M. Soliton solutions and symmetries of the 2+1 dimensional Kaup-Kupershmidt equation // Physics Letters A. – 1999. – Vol. 262, iss. 6. – P. 409–415. – doi: 10.1016/S0375-9601(99)00683-0.
23. Дубровский В.Г., Грамолин А.В. Калибровочно-инвариантное описание некоторых (2+1)-мерных интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений // Теоретическая и математическая физика. – 2009. – Т. 160, № 1. – C. 35–48. – doi: 10.4213/tmf6376.
24. Дубровский В.Г., Топовский А.В., Басалаев М.Ю. Новые точные решения двумерных интегрируемых уравнений НВН, 2DКК и 2DСК, полученные с помощью метода одевания // Теоретическая и математическая физика. – 2011. – Т. 167, № 3. – C. 377–393. – doi: 10.4213/tmf6648.