НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК

В качестве модели стационарной динамической системы часто выступает интегральное уравнение Вольтера первого рода с разностным ядром. Для такой модели задача непараметрической идентификации заключается в оценивании этого разностного ядра (называемого импульсной переходной функции) по измеренным значениям входного и выходного сигналов идентифицируемой динамической системы. Как известно, эта задача является некорректно поставленной, т. е. решения может не существовать, оно может быть не единственным и обладать неустойчивостью по отношению к погрешностям (шумам измерения) исходных данных. Для получения единственного устойчивого (но приближенного) решения используются различные методы регуляризации (в частности, метод регуляризации А.Н. Тихонова). Вычислительной основой алгоритмов, реализующих эти методы, является дискретное преобразование Фурье (ДПФ). При этом предполагается, что входной сигнал (ядро интегрального уравнения) задан точно, а выходной сигнал системы регистрируется с некоторой случайной ошибкой. Однако такое предположение редко выполняется на практике, так как входной и выходной сигналы системы измеряются и регистрируются приборами и, следовательно, задаются со случайными погрешностями – с шумами измерений. В данной работе предлагается двухэтапный устойчивый алгоритм непараметрической идентификации импульсной переходной функции стационарной динамической системы в случае, когда входной и выходной сигналы идентифицируемой системы регистрируются со случайными погрешностями. На первом этапе осуществляется вейвлет-фильтрация зашумленного входного сигнала. Для этого используются пороговые алгоритмы обработки коэффициентов вейвлет-разложения зашумленного сигнала. Для минимизации ошибки фильтрации пороговые значения вычисляются на основе статистического критерия оптимальности алгоритма фильтрации. На втором этапе к отфильтрованному входному сигналу применяется регуляризирующий алгоритм, использующий дискретное преобразование Фурье. Для минимизации ошибки идентификации на этом этапе для выбора параметра регуляризации используется алгоритм, позволяющий эффективно оценить оптимальное значение параметра регуляризации. В работе исследуется степень влияния уровней погрешностей входного и выходного сигналов на ошибку идентификации. Приводятся и обсуждаются результаты вычислительного эксперимента. Иллюстрируется эффективность предлагаемого подхода к построению устойчивого алгоритма непараметрической идентификации импульсной переходной функции стационарной динамической системы при различных уровнях шума измерения входного и выходного сигналов идентифицируемой системы.

1. Greblicki W., Pawiak M. Nonparametric system identification. – Cambridge: Cambridge University Press, 2008. – 400 p.

2. Кондрашин А.В., Хорьков В.И. Исследование и идентификация управляемых технических систем. – М.: ИспоСервис, 2000. – 220 с.

3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1986. – 285 с.

4. Численные методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. – М.: Наука, 1990. – 231 с.

5. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический аспект. – М.: Изд-во МГУ, 1992. – 319 с.

6. Воскобойников Ю.Е. Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. – Новосибирск: Наука, 1984. – 238 с.

7. Воскобойников Ю.Е., Крысов Д.А. Непараметрическая идентификация динамической системы при неточном входном сигнале // Автоматика и программная инженерия. – 2017. – № 4 (22). – С. 86–92.

8. Воскобойников Ю.Е., Крысов Д.А. Локальный регуляризирующий алгоритм непараметрической идентификации объекта с неточным входным сигналом // Научный вестник НГТУ. – 2018. – № 1 (70). – С. 19–38. – DOI: 10.17212/1814-1196-2018-1-19-38.

9. Воскобойников Ю.Е., Крысов Д.А. Алгоритм идентификация импульсной переходной функции при высоком уровне шума измерения входного сигнала системы // Автоматика и программная инженерия. – 2018. – № 2 (24). – С. 67–73.

10. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of L^2(R) // Transactions of the American Mathematical Society. – 1989. – Vol. 315, N 1. – P. 69–87.

11. Mallat S. А theory of multiresolution signal decomposition: the wavelet representation // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. – 1989. – Vol. 11, N 7. – P. 674–693.

12. Воскобойников Ю.Е. Вейвлет-фильтрация сигналов и изображений (с примерами в MathCAD): монография. – Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2015. – 188 с.

13. Воскобойников Ю.Е., Крысов Д.А. Выбор наилучшей однопараметрической пороговой функции в алгоритмах вейвлет-фильтрации // Сборник научных трудов НГТУ. – 2016. – № 3 (85). – С. 71–82.

14. Vidakovic B. Statistical modeling by wavelets. – New York: John Wiley & Sons, 1999. – 382 p. – (Wiley series in probability and statistics).

15. Воскобойников Ю.Е. Устойчивые алгоритмы решения обратных измерительных задач: научная монография. – Новосибирск: Изд-во НГАСУ (Сибстрин), 2007. – 184 с.

16. Information complexity-based regularizing parameter selection for solution of ill conditioned inverse problems / A.M. Urmanov, A.V. Gribok, H. Bozdogan, J.W. Hines, R.E. Uhrid // Inverse Problems. – 2002. – Vol. 18, N 2. – P. L1–L9.

17. Vogel C.R. Non-convergence of L-curve regularization parameter selection method // Inverse Problems. – 1996. – Vol. 12, N 4. – P. 535–547.

18. Lukas M.A. Comparison of parameter choice methods for regularization with discrete noisy data // Inverse Problems. – 2000. – Vol. 14, N 2. – P. 161–184.

19. Engl H.W., Hanke M., Neubauer F. A regularization of inverse problems. – Dordrecht; Boston: Kluwer Academic Publisher, 2000. – 383 p.

20. Титаренко В.Н., Ягола А.Г. Применение метода GVC для корректных и некорректных задач // Вестник МГУ. Серия 3, Физика, астрономия. – 2000. – № 4. – С. 15–18.

21. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. – М.: Наука, 1987. – 240 с.

22. Левин М.А., Татаринцев А.В., Ахкубеков А.Э. Метод Laplace-DLTS с выбором параметра регуляризации по L-кривой // Физика и техника полупроводников. – 2009. – Т. 43, № 5. – С. 74–81.

23. Димаки А.В., Светлаков А.А. Регуляризация решения задачи идентификации при использовании алгоритма чувствительности // Известия Томского политехнического университета. – 2009. – Т. 314, № 5. – С. 27–31.

24. Воскобойников Ю.Е., Крысов Д.А. Оценивание характеристик шума измерения в модели «сигнал+шум» // Автоматика и программная инженерия. – 2018. – № 3 (25). – С. 54–61.