СИСТЕМЫ АНАЛИЗА И ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

Проблема оценивания плотности вероятности распределения возникает во многих областях статистического анализа данных. Существуют различные подходы к ее решению, но в последнее время становятся популярными методы, основанные на вейвлет-оценивании. Суть методов состоит в разложении неизвестной функции в ряд по некоторому конечному набору ортонормированных базисных функций. В качестве такого набора используется система функций, определенная на отрезке [0,1], который не всегда совпадает с областью значений случайной величины. Поэтому для вычисления вейвлет-оценки плотности распределения случайной величины, заданной на произвольной области, требуется выполнить переход к системе функций, определенной на том же отрезке, что значения случайной величины. В рамках данной работы будут рассмотрены вейвлет-оценки плотности распределения случайной величины с помощью вейвлетов Хаара и «Мексиканская шляпа». Выполнено исследование влияния на качество вейвлет-оценок таких параметров, как объем выборки, число коэффициентов разложения функции в ряд в выражении для вейвлет-оценки плотности. В ходе работы установлено, что качество вейвлет-оценки существенно зависит от параметра сглаживания и существует ее наилучшее значение, которое, в свою очередь, меняется от выбора материнского вейвлета. Авторами предложен новый вариант оценки параметра сглаживания. Для количественной оценки степени близости функции плотности распределения и ее вейвлет-оценки была проведена проверка согласия по критерию χ2 и сформулированы выводы о том, какой базовый вейвлет обеспечивает наиболее качественное восстановление функции плотности.

1. Тимофеев В.С., Хайленко Е.А. Адаптивное оценивание параметров регрессионных моделей с использованием обобщенного лямбда-распределения // Доклады Академии наук высшей школы РФ. – 2010. – № 2 (15). – С. 25–36.

2. Тимофеев В.С., Хайленко Е.А. Робастные оценки моментов при идентификации лямбда-распределения в рамках адаптивного оценивания // Доклады Академии наук высшей школы Российской Федерации. – 2017. – № 4 (37). – С. 101–111.

3. Fan J., Gijbels I. Local polynomial modelling and its application. – London: CRC Press, 1996. – 360 p.

4. Тимофеев В.С. Ядерные оценки плотности при идентификации уравнений регрессии. // Научный вестник НГТУ. – 2010. – № 3 (40). – С. 41–50.

5. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. – Ижевск: РХД, 2001. – 464 с.

6. Wavelets on irregular point sets / I. Daubechies, I. Guskov, P. Schro¨der, W. Sweldens // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. – 1999. – Vol. 357. – P. 2397–2413.

7. Silverman B. Density estimation for statistics and data analysis. – London: Chapman and Hall, 1986. – 176 p.

8. Смоленцев Н.К. Введение в теорию вейвлетов. – М.; Ижевск: РХД, 2010. – 282 с.

9. Захарова Т.В., Шестаков О.В. Теория вейвлетов и ее применение в обработке сигналов: учебное пособие / Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Факультет вычислительной математики и кибернетики, Кафедра математической статистики. – М.: МастерПринт, 2018. – 178 с.

10. Витязев В.В. Вейвлет-анализ временных рядов. – СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. – 58 с.

11. Малашкевич И.А. Вейвлет-анализ сигналов: от теории к практике: учебное пособие / Поволжский государственный технологический университет. – Йошкар-Ола: ПГТУ, 2016. – 276 с.

12. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории / пер. с нем. Т.Э. Кренкеля; под ред. А.Г. Кюркчана. – М.: Техносфера, 2004. – 273 с.

13. Шестаков О.В. Вероятностно-статистические методы анализа и обработки сигналов на основе вейвлет-алгоритмов. – М.: Аргамак-Медиа, 2016. – 200 с.

14. Фрейзер М. Введение в вэйвлеты в свете линейной алгебры / пер. с англ. Я.М. Жилейкина. – Москва: Бином. Лаборатория знаний, 2007. – 487 с.

15. Lepik Ü. Numerical solution of evolution equations by the Haar wavelet method // Applied Mathematics and Computation. – 2007. – Vol. 185 (1). – P. 695–704.

16. Lepik Ü., Hein H. Haar wavelets: with applications. – Cham: Springer, 2014. – 207 р. – (Mathematical engineering).

17. Stankovic R., Falkowski B. The Haar wavelet transform: its status and achievements // Computers and Electrical Engineering. – 2003. – Vol. 29 (1). – P. 25–44.

18. Вейвлет-анализ в примерах: учебное пособие / О.В. Нагорнов, В.Г. Никитаев, В.М. Простокишин, С.А. Тюфлин, А.Н. Проничев, Т.И. Бухарова, К.С. Чистов, Р.З. Кашафутдинов, В.А. Хоркин. – М.: НИЯУ МИФИ, 2010. – 120 с.

19. Mallat S. A wavelet tour of signal processing. – New York, NY: Academic Press, 1999. – 851 p.

20. Чернов А.В. О применении квадратичных экспонент для дискретизации задач оптимального управления // Вестник Удмуртского университета. Математика Механика. Компьютерные науки. – 2017. – Т. 27, вып. 4. – С. 558–575.

21. Антонов А.В. Системный анализ: учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2004. – 454 с.

22. Геворкян П.С., Потемкин А.В., Эйсымонт И.М. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Физматлит, 2016. – 176 c.

23. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для прикладного бакалавриата. – Люберцы: Юрайт, 2016. – 479 с.

24. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. – М.: Либроком, 2019. – 352 с.

25. Максимов Ю.Д. Математическая статистика: опорный конспект. – М.: Проспект, 2016. – 104 с.