СИСТЕМЫ АНАЛИЗА И ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

В статье рассмотрен вопрос восстановления непрерывных сигналов по ограниченному набору дискретных значений. Спектр дискретных значений представляет собой периодически повторяющийся спектр непрерывного сигнала. Теорема Котельникова определяет условия, при которых спектр одиночного сигнала можно выделить без искажений, и затем по ним восстановить исходный сигнал. Однако интерполяция с помощью ряда подразумевает бесконечное число отсчетов.

В статье показано, что при выполнении условий Найквиста восстановление сигнала при ограниченном числе дискретных значений с помощью интерполяционного ряда дает существенные погрешности. Однако если сигнал периодический, возможно полное его восстановление по ограниченному набору точек дискретизации. В этом случае процесс дискретизации можно представить в виде воздействия ограниченной решетки Дирака.

Предложена простая процедура восстановления исходного сигнала, которая состоит в дискретном преобразовании Фурье от отсчетов, в дополнении спектра нулями до диапазона выбранного сигнала и обратном преобразовании Фурье.

Для непериодического сигнала полного восстановления по дискретным точкам не происходит, даже если при дискретизации исходной функции выполняются условия теоремы Котельникова. Это связано с перекрытием одиночных спектров в результате свертки с фурье-образом прямоугольного импульса, который вырезает непериодический сигнал из периодического. Каждый одиночный спектр становится бесконечным в результате свертки с фурье-образом вырезающего прямоугольного импульса. Точно выделить одиночный спектр непрерывного сигнала не удается. Это приводит к погрешности при восстановлении исходного сигнала.

1. Котельников В.А. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи // Успехи физических наук. – 2006. – Т. 176, № 7. – С. 762–770.

2. Nyquist H. Certain topics in telegraph transmission theory // Transactions of the American Institute of Electrical Engineers. – 1928. – Vol. 47. – P. 617–644.

3. Wittaker E.T. On the function which are represented by the expansion of interpolating theory // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. – 1915. – Vol. 35. – P. 181–194.

4. Shannon C.E. Communication in the presence of noise // Proceedings of Institute of Radio Engineers. – 1949. – Vol. 37, N 1. – P. 10–21.

5. Гельфант И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. – 2-е изд. – М.: Физматгиз, 1959. – 470 с.

6. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. – М.: Мир, 1978. – 518 с.

7. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. – М.: Наука, 1979. – 329 с.

8. Дискретизация изображений в реальных системах с помощью обобщенных функций / В.И. Гужов, И.О. Марченко, Д.С. Хайдуков, С.П. Ильиных // Автоматика и программная инженерия. – 2016. – № 4 (18). – С. 45–52.

9. Гужов В.И. Компьютерная голография. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. – 270 с. – ISBN 978-5-8114-3410-7.

10. Васьков С.Т., Ефимов В.М., Резник А.Л. Быстрая цифровая реконструкция сигналов и изображений по критерию минимума энергии // Автометрия. – 2003. – Т. 39, № 4. – С. 13–20.

11. Гужов В.И., Ильиных С.П., Марченко И.О. Метод повышения пространственного разрешения в цифровой голографической микроскопии // Автометрия. – 2018. – Т. 54, № 3. – С. 104–110. – DOI: 10.15372/AUT20180313.