СИСТЕМЫ АНАЛИЗА И ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

В последние два десятилетия для описания динамики стационарных нелинейных систем используются интегральные модели «вход–выход», в которых ядрами являются члены ряда Вольтерра. Наиболее часто используются линейный член (импульсная переходная функция зависит от одной переменной) и квадратичный член, зависящий от двух переменных. Для выделения в выходном сигнале идентифицируемой системы двух его составляющих – выхода линейной «подсистемы» и выхода «квадратичной» подсистемы – проводят активный эксперимент, в котором на вход системы подается специальная комбинация прямоугольных импульсов. После выделения выхода «квадратичной» подсистемы идентификация квадратичного члена ряда Вольтерра сводится к решению двумерного интегрального уравнения первого рода. В литературе приводятся формулы обращения, в которых функция квадратичного ядра получается в результате арифметических операций с производными второго порядка от выходного сигнала. Дифференцирование функций является некорректно поставленной задачей, когда малые погрешности задания функции (шумы измерения) вызывают большие ошибки в производных (особенно в производных второго порядка). В работе предлагается для устойчивого вычисления производных использовать сглаживающие кубические сплайны. Для вычисления смешанной производной второго порядка строится сплайн с двумя переменными – сглаживающий бикубический сплайн. Основной проблемой, возникающей на практике при обработке данных реального эксперимента, является выбор параметра сглаживания, от величины которого зависит ошибка сглаживания зашумленных данных. Как правило, в эксперименте не известна величина дисперсии шума измерения. Поэтому в работе предлагается для выбора параметра сглаживания в построенных сплайнах (особенно в бикубическом) использовать алгоритм, основанный на методе L-кривой, где не требуется задание дисперсии шума измерения. Предлагаемый алгоритм идентификации имеет высокую вычислительную эффективность. Выполненный вычислительный эксперимент показал маленькую методическую ошибку (порядка 1%) и хорошую устойчивость к шумам измерений выходных сигналов идентифицируемой системы. Для уменьшения случайной составляющей ошибки идентификации предлагается использовать постобработку локально-пространственным комбинированным фильтром.

1. Каминскас В. Идентификация динамических систем по дискретным наблюдениям. – Вильнюс: Мокслас, 1985. – 152 c.

2. Giannakis G.B., Serpedin E. A bibliography on nonlinear system identification // Signal Processing. – 2001. – Vol. 81, no. 3. – P. 533–580.

3. Volterra-series-based nonlinear system modeling and its engineering applications: a state-of-the-art review / C.M. Cheng, Z.K. Peng, W.M. Zhang, G. Meng // Mechanical Systems and Signal Processing. – 2017. – Vol. 87. – P. 430–364.

4. Солодуша С.В. Квадратичные и кубичные полиномы Вольтерра: идентификация и приложение // Вестник СПбГУ. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. – 2018. – Т. 14, вып. 2. – С. 131–144. – DOI: 10.21638/11702/spbu10.2018.205.

5. Solodusha S.V. New classes of Volterra integral equations of the first kind related to the modeling of the wind turbine dynamics // 15th International Conference on stability and oscillations of nonlinear control systems (Pyatnitskiy's Conference). – Moscow, 2020. – P. 35–39. – Doi: 10.1109/stab49150.2020.9140662.

6. Солодуша С.В. Методика построения интегральных моделей динамических систем: алгоритмы и приложения в энергетике: дис. … д-ра техн. наук: 05.13.18. – Иркутск, 2018. – 353 с.

7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1986. – 285 с.

8. Воскобойников Ю.Е., Боева В.А. Алгоритмы непараметрической идентификации сложных технических систем // Научный вестник НГТУ. – 2020. – № 4 (80). – С. 47–64. – DOI: 10.17212/1814-1196-2020-4-47-64.

9. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. – М.: Наука, 1980. – 345 с.

10. Wang Y. Smoothing splines methods and applications. – A Chapman & Hall, 2011. – 347 p. – (Monographs on Statistics and Applied Probability; vol. 121).

11. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. – Новосибирск: Наука, 1984. – 238 с.

12. Voskoboynikov Yu.Е., Boeva V.A. Synthesis of smoothing cubic spline in non-parametric identification technical systems’ algorithm // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. – 2020. – Vol. 953. – P. 012035. – DOI: 10.1088/1757-899X/953/1/012035.

13. Воскобойников Ю.Е., Боева В.А. Устойчивый алгоритм вычисления смешанных производных в задачах непараметрической идентификации нелинейных систем // Современные наукоемкие технологии. – 2021. – № 4. – С. 25–29. – DOI: 10.17513/snt.38610.

14. Rezghi M., Hosseini S.M. A new variant of L-curve for Tikhonov regularization // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2012. – Vol. 231 (2). – Р. 914–924.

15. Cultrera A., Callegaro L. A simple algorithm to find the L-curve corner in the regularization of ill-posed inverse problems // IOP SciNotes. – 2020. – Vol. 1 (2). – Р. 25004.

16. Воскобойников Ю.Е., Боева В.А. Метод L-кривой для оценивания оптимального параметра сглаживающего кубического сплайна // Международный научно-исследовательский журнал. – 2021. – № 11 (113), ч. 1. – С. 6–13. – DOI: 10.23670/IRJ.2021.113.11.003.

17. Воскобойников Ю.Е. Артефакты вейвлет-фильтрации изображений и их устранение // Автометрия. – 2020. – Т. 56, № 6. – С. 3–10. – DOI: 10.15372/AUT20200601.

18. Meyer Y. Wavelets: algorithms and applications. – Philadelphia: SIAM, 1993. – 133 p.