СИСТЕМЫ АНАЛИЗА И ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

Базы математических знаний являются развитием классических математических справочников и энциклопедий, что, в свою очередь, делает их важным инструментом при проведении различных исследований в математических науках и смежных областях. В настоящее время существуют различные базы знаний математических объектов. В настоящей работе рассматривается база знаний производящих функций двух переменных, использование которой позволяет оперировать многомерными объектами. Актуальность и значимость данного исследования заключается в решении различных задач, связанных с применением математического аппарата производящих функций. В работе рассмотрено использование разработанной базы знаний производящих функций двух переменных при решении следующих задач: оперирование производящими функциями двух переменных и получение явных выражений для коэффициентов композиции производящих функций двух переменных, коэффициентов взаимной и обратной производящих функций двух переменных, коэффициентов логарифмических производных производящих функций, а также их степеней. В дополнение рассмотрена обратная задача, направленная на получение производящих функций для явных выражений, описывающих их коэффициенты. Кроме того, использование базы знаний производящих функций двух переменных способствует процессу построения алгоритмов комбинаторной генерации для сложных комбинаторных объектов, определяемых производящими функциями многих переменных. В качестве примера показано построение алгоритмов комбинаторной генерации для множеств, определяемых обобщенными числами Нараяны. Числа Нараяны описывают классы подмножеств для комбинаторных множеств, определяемых числами Каталана. В статье выбрана одна из комбинаторных интерпретаций для чисел Нараяны – множество путей Дика длиной n, у которых имеется m пиков.

1. Sloane N.J.A. The on-line encyclopedia of integer sequences // Notices of the American Mathematical Society. – 2018. – Vol. 65, N 9. – P. 1063–1074. – DOI: 10.1090/noti1734.

2. The combinatorial object server: website. – URL: http://combos.org (accessed: 28.02.2022).

3. Srivastava H.M., Manocha H.L. A treatise on generating functions. – USA: Ellis Horwood Limited, 1984. – 569 p.

4. Wilf H.S. Generatingfunctionology. – 2nd ed. – Boston: Academic Press, 1994. – 228 p.

5. Kruchinin V.V., Kruchinin D.V. Composita and its properties // Journal of Analysis and Number Theory. – 2014. – Vol. 2, N 2. – P. 37–44. – DOI: 10.12785/jant/020202.

6. Kruchinin D.V., Kruchinin V.V. Application of a composition of generating functions for obtaining explicit formulas of polynomials // Journal of Mathematical Analysis and Applications. – 2013. – Vol. 404, N 1. – P. 161–171. – DOI: 10.1016/j.jmaa.2013.03.009.

7. Kruchinin D., Kruchinin V., Shablya Y. Method for obtaining coefficients of powers of bivariate generating functions // Mathematics. – 2021. – Vol. 9, N 4. – Art. 428. – DOI: 10.3390/math9040428.

8. Kimberling C. Path-counting and Fibonacci numbers // Fibonacci Quarterly. – 2002. – Vol. 40, N 4. – P. 328–338.

9. Kruchinin D.V., Kruchinin V.V. Explicit formula for reciprocal generating function and its application // Advanced Studies in Contemporary Mathematics (Kyungshang). – 2019. – Vol. 29, N 3. – P. 365–372. – DOI: 10.17777/ascm2019.29.3.365.

10. Stanley R.P. Enumerative combinatorics. Vol. 2. – Cambridge: Cambridge University Press, 2001. – 595 p.

11. Kruchinin D., Kruchinin V., Shablya Y. On some properties of generalized Narayana numbers // Quaestiones Mathematicae. – 2021. – DOI: 10.2989/16073606.2021.1980448.

12. Stanley R.P. Catalan numbers. – Cambridge: Cambridge University Press, 2015. – 215 p.

13. Petersen T.K. Eulerian numbers. – New York: Birkha?user, 2015. – 463 p.

14. Kreher D.L., Stinson D.R. Combinatorial algorithms: Generation, enumeration, and search. – Boca Raton, FL: CRC Press, 1999. – 329 p.

15. Ruskey F. Combinatorial generation. Working version (1j-CSC 425/520). – 2003. – 311 p. – URL: http://page.math.tu-berlin.de/~felsner/SemWS17-18/Ruskey-Comb-Gen.pdf (accessed: 28.02.2022).

16. Кручинин В.В. Представление множеств деревьями И/ИЛИ // Доклады ТУСУР. – 2008. – Т. 1, № 17. – С. 107–112.