СИСТЕМЫ АНАЛИЗА И ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

В работе изучается проблема стабилизации многомерной вибрационной системы с помощью гироскопического стабилизатора. Вибрационная система задается дифференциальным уравнением второго порядка с симметрическими матричными коэффициентами: положительно определенной матрицей жесткости и неопределенной матрицей потерь; в общем случае такая система неустойчива. Для нее требуется найти оптимальный гироскопический стабилизатор, заданный кососимметрическим матричным коэффициентом в слагаемом скоростей. Выбор такого типа управления диктуется стремлением избежать дополнительных вибраций, вызванных трением; его особенностью является пониженный порядок регулятора, независимо от размерности системы и числа настраиваемых параметров. Целью работы является выяснение важнейших свойств множества гироскопических стабилизаторов. Оно описывается системой полиномиальных уравнений, в регулярном случае ясна размерность многообразия общего решения и возможно численное нахождения некоторых его точек. Мы начинаем с размерности 3, что приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка и далее к системе пяти полиномиальных уравнений с шестью неизвестными. Его общее решение оказывается одномерным алгебраическим многообразием, представленным в виде таблицы. Второй пример имеет размерность 5, ему соответствует система дифференциальных уравнений десятого порядка и девяти полиномиальных уравнений относительно 15 неизвестных. Размерность многообразия решений равна шести; мы находим одномерное подмногообразие и некоторые особые точки. Главной трудностью оказывается расходимость численных расчетов вблизи кратных полюсов замкнутой системы. Одной из важных закономерностей, проявившихся в обоих примерах, стало отсутствие других полюсов, кроме комплексно сопряженных и изредка – кратных действительных. Тем самым почти все решения для оптимального гироскопического стабилизатора складываются из сравнительно быстро гаснущих колебаний. В обоих примерах многообразие решений состоит в основном из простых полюсов и позволяет выбрать стабилизатор, не создающий резонансных эффектов.

1. Damm T., Homeyer J. On indefinite damping and gyroscopic stabilization // IFAC Proceedings. – 2011. – Vol. 44 (1). – P. 7589–7593.

2. Damm T., Homeyer J. Gyroscopic stabilization of 2nd-order-systems with indefinite damping // Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics. – 2011. – Vol. 11. – P. 811–812. – DOI: 10.1002/pamm.201110394.

3. Markus A.S., Barkwell L., Lancaster P. Gyroscopically stabilized systems: A class of quadratic eigenvalue problems with real spectrum // Canadian Journal of Mathematics. – 1992. – Vol. 44 (1). – P. 42–53.

4. Popp K., Rudolph M. Avoidance of stick-slip motion by vibration control // Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics. – 2003. – Vol. 3. – P. 120–121.

5. Kliem W. Pommer C. Indefinite damping in mechanical systems and gyroscopic stabilization // Zeitschrift fuer Angewandte Mathematik und Physik. – 2009. – Vol. 60, N 4. – P. 785–795.

6. Hieu N.N., Chung P.N. Analysis of stability and stick-slip motion of a friction-induced vibrating system with dwell-time effect // International Journal of Mechanical Sciences. – 2021. – Vol. 205. – P. 106605. – DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2021.106605.

7. Kirillov O.N. Subcritical flutter in the acoustics of friction // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. – 2008. – Vol. 464, N 2097. – P. 2321–2339.

8. Kirillov O.N. Nonconservative stability problems of modern physics. – 2nd ed. – Berlin, Boston: De Gruyter, 2021. – 528 p. – (Studies in mathematical physics; vol. 14).

9. Корюкин А.Н., Чехонадских А.В. Предел устойчивости трехмассовой системы с регулятором 3-го порядка. Ч. 1 // Сборник научных трудов НГТУ. – 2011. – № 4 (66). – С. 3–22.

10. Корюкин А.Н., Чехонадских А.В. Предел устойчивости трехмассовой системы с регулятором 3-го порядка. Ч. 2 // Сборник научных трудов НГТУ. – 2012. – № 1 (67). – С. 37–56.

11. Koryukin А.N., Chekhonadskikh A.V. Extreme root location of real polynomials and stabilization of 3-mass control system // Algebra and Model Theory 8: Collection of papers / Novosibirsk State Technical University. – Novosibirsk: NSTU Publ., 2011. – P. 19–39.

12. Воевода А.А. Стабилизация двухмассовой системы: модальный метод синтеза с использованием полиномиального разложения // Научный вестник НГТУ. – 2010. – № 1 (38). – С. 195–198.

13. Бобобеков К.М., Воевода А.А. Синтез двухканальной системы полиномиальным методом: обеспечение астатизма // Сборник научных трудов НГТУ. – 2016. – № 1 (83). – С. 7–19.

14. Чехонадских А.В. Корневые координаты в синтезе одноканальных систем автоматического управления пониженного порядка // Автометрия. – 2015. – Т. 51, № 5. – С. 69–81.

15. Zhmud V., Dimitrov D. Designing of the precision automatic control systems. – Novosibirsk: Kant, 2017. – 126 p.