СИСТЕМЫ АНАЛИЗА И ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

Поток во времени ансамбля начального состояния в многомерном фазовом пространстве, как правило, моделирует некоторый динамический процесс. Возникает вопрос единственности: при каких условиях такой поток порождается векторным полем так, что векторному полю соответствует данный поток единственным образом? Например, при анализе данных динамического процесса, когда по реализации процесса требуется восстановить векторное поле, порождающее этот процесс. Положительный ответ на этот вопрос дают классические теоремы единственности решения начальной задачи в случае регулярного векторного поля с требуемыми свойствами модуля непрерывности по пространственным переменным. В математических моделях стохастических дифференциальных уравнений, в моделях нерегулярных гидродинамических течений и ряде других случаев, когда поток порождается «плохим» векторным полем, имеющим модуль непрерывности по пространственным переменным, не отвечающим условиям теоремы единственности решения начальной задачи для векторного поля, порождающего этот поток, мы не можем говорить о корректности начальной задачи для векторного поля и тем самым о корректности нахождения траекторий, связывающих начальное и актуальное состояния ансамбля частиц в фазовом пространстве. В этом случае о единственности потока, порождаемого векторным полем, остается судить только по свойствам самого потока. Единственным известным результатом такого типа является теорема ван Кампена, которая утверждает, что единственность потока, порожденного непрерывным по пространственным переменным векторным полем, гарантируется свойствами гомеоморфности и липшицевости потока по пространственным переменным. Если векторное поле скоростей теряет свойство непрерывности по пространственным переменным, то теорема ван Кампена не работает и требуются какие-то другие свойства потока, гарантирующие его единственность. В настоящей работе устанавливаются такие свойства потока, которые гарантируют его единственность даже в случае нарушения непрерывности векторного поля, порождающего этот поток. Условия теоремы ван Кампена в определенном смысле являются частным случаем таких установленных в настоящей работе свойств потока, гарантирующих его единственность, как решения начальной задачи для нерегулярного векторного поля. Построенная здесь общая конструкция доказательства позволяет устанавливать такие свойства потоков в различных математических моделях, которые гарантируют его единственность для порождающего векторного поля.

1. Lavrentieff M. Sur une équation différentielle du premier ordre // Mathematische Zeitschrift. – 1925. – Vol. 23 (1). – P. 197–209. – DOI: 10.1007/BF01506227.

2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970. – 720 с.

3. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Иностранная литература, 1958. – 474 с.

4. Федерер Г. Геометрическая теория меры. – М.: Наука, 1987. – 760 с.

5. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. – М.: Наука, 1970. – 492 с.

6. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. – М.: Постмаркет, 2000. – 350 с.

7. Шустер Г. Детерминированный хаос. – М.: Мир, 1988. – 240 с.

8. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. – М.: Наука, 1984. – 272 с.

9. Рудяк В.Я. Статистическая аэрогидромеханика гомогенных и гетерогенных сред. Т. 1. Кинетическая теория. – Новосибирск: НГАСУ, 2004. – 320 с.

10. Рудяк В.Я. Статистическая аэрогидромеханика гомогенных и гетерогенных сред. Т. 2. Гидродинамика. – Новосибирск: НГАСУ, 2005. – 468 с.

11. Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика. – М.: Наука, 1985. – 480 с.

12. Anomalous diffusion and nonergodicity for heterogeneous diffusion processes with fractional Gaussian noise / W. Wang, A.G. Cherstvy, X. Liu, R. Metzler // Physical Review E. – 2020. – Vol. 102. – P. 012146. – DOI: 10.1103/PhysRevE.102.012146.

13. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. – М.: Наука, 1976. – 286 с.

14. Селезнев В.А. О единственности решения начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в заданном классе отображений // Динамика сплошной среды. – 1990. – № 97. – С. 107–113.

15. Селезнев В.А. О некоторых задачах квазиконформного изотопирования // Сибирский математический журнал. – 1997. – Т. 38, № 2. – С. 372–382.