Аннотация
Предмет исследования. В алгебре полиномиальных матриц (над алгеброй K полиномов от одной буквы) размера n на n изучается вопрос единственности разложения на простые множители. Актуальность. Теория делимости является классической частью математики, вошедшей в процесс обучения в высших учебных заведениях. Автору неизвестно, изучался ли вопрос о единственности разложения на простые множители. Между тем в линейной теории автоматического управления (многоканальные системы) давно и успешно используются понятия наибольшего левого и правого делителей полиномиальных матриц, что может служить основой теории делимости для полиномиальных матриц. Важнейший вопрос теории делимости – существование и единственность разложения на простые множители. Вопрос единственности разложения на простые множители затруднён тем, что в кольце матриц нет коммутативности. Результаты. Показано, что в кольце полиномиальных матриц левые и правые идеалы главные (матрицы над алгеброй полиномов от одной буквы). Отсюда следует, что для любого числа невырожденных матриц существуют наибольший левый делитель, наибольший правый делитель, наименьшее левое кратное, наименьшее правое кратное. Показано, что для любой невырожденной матрицы существует разложение на простые множители. Охарактеризованы неразложимые матрицы: это в точности матрицы с простым (неразложимым) определителем. Проблема единственности разложения на простые множители решается так: для произвольной невырожденной матрицы A описаны все простые правые делители (простые матрицы B, для которых существует матрица C такая, что A = BC). Это описание сделано в терминах решётки K-подмодулей n-ок (модуля последовательности полиномов из K длины n. Разложение же A = BC позволяет найти все разложения невырожденной матрицы A на простые множители. Эти поиски записаны в виде двух алгоритмов (для математиков и для инженеров). Описаны некоторые инварианты разложения матрицы на простые множители. Описаны некоторые частные случаи разложения. Приведён один пример разложения. Методика и инструментарий. Теория колец. Теория делимости.
Ключевые слова: полиномиальные матрицы, простые множители, неразложимые элементы, разложение на простые множители, единственность разложения на простые множители, теорема об единственности разложения на простые множители, наибольший общий левый делитель, наибольший общий правый делитель
Список литературы
1. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. – 176 с.
2. Евклид. Начала: пер. с греч. В 3 т. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1948-1950. – 507 с. – Т. 1: кн. I-VI; т. 2: кн. VII-IX; т. 3: кн. X-XII.
3. Хрестоматия по истории математики. Алгебра. Теория чисел. Геометрия: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-в / И.Г. Башмакова, Ю.А. Белый, С.С. Демидов, Б.А. Розенфельд, А.П. Юшкевич. – М.: Просвещение, 1976. – 316 с.
4. Бурбаки Н. Очерки по истории математики: пер. с фр. – М.: ИЛ, 1963. – 292 с.
5. Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. – М.: Изд-во АН СССР, 1959. – 979 с.
6. Начала гидростатики. Архимед, Стевин, Галилей, Паскаль / под общ. ред И.И. Агола и др. – М.-Л.: Гос. техн.-теорет. изд-во, 1932. – 413 с.
7. Бурбаки Н. Алгебра. Т. 3. Модули, кольца, формы. – М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. – 554 с.
8. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. – М.: Мир, 1971. – 706 с.
9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Основы алгебры. – М.: Наука, 1994. – 319 с.
10. Алгебра и теория чисел: учеб. пособие для студентов-заочников II курса физ.-мат. факультетов пед. ин-тов / Н.А. Казачек, Г.Н. Перлатов, Н.Я. Виленкин, А.И. Бородин. – М.: Просвещение, 1984. – 193 с.
11. Винберг Е.Б. Алгебра многочленов: учеб. пособие для студентов-заочников III-IV курсов физ.-мат. факультетов пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1980. – 175 с.
12. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: учеб. пособие для пед. ин-тов по спец. «Математика», «Математика и физика», «Физика и математика». – М.: Высш. шк., 1979. – 562 с.
13. Anthaklis P.J., Michel A.N. Linaer Systems. – Boston: Birkhauser, 2006. – 670 p.
14. Wang Qing-Guo. Decoupling Control. – Berlin Heidelberg: Springer-Vedrlag, 2003. – 356 p.
15. Vidyasagar M. Control system sythesis: a factorization approach. Pt. 1. – San Rafael, CA: Morgan & Claypool, 2011. – 184 p.
16. Vidyasagar M. Control system sythesis: a factorization approach. Pt. 2. – San Rafael, CA: Morgan & Claypool, 2011. – 227 p.
17. Kailath T. Linear Systems. – Englewood Cliffs, New Jork: Prentice-Hall, 1980. – 704 p.
18. Wolovich W. Linear Multivariable Control. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1974. – 368 p.
19. Воевода А.А. Матричные передаточные функции (основные понятия): учеб. пособие. – Новосибирск: изд-во НГТУ, 1994. – 95 c.
20. Воевода А.А. Матричные передаточные функции (синтез): конспект лекций. – Новосибирск: изд-во НГТУ, 1995. – 95 c.
21. MacDuffee C.C. The Theory of Matrices. – Berlin: Springer, 1933. – 119 p.
22. Cahen E. Théory des nombres. Vol. 1. – Paris: Librairie scintifique A. Hermann & Fils, 1914. – 425 p.
