СИСТЕМЫ АНАЛИЗА И ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

В теории оптимального эксперимента имеется группа критериев оптимальности (например, D-, A-, E-критерии), отражающих точность оценивания параметров модели. Существует также группа критериев, связанных с точностью прогноза по модели, которая может характеризоваться дисперсией оценок математических ожиданий откликов. Например, использование критерия G-оптимальности позволяет получать планы, на которых построенные модели будут обеспечивать минимизацию максимальной дисперсии прогноза. К числу подобных относится и критерий Q-оптимальности, предполагающий минимизацию средней по области планирования дисперсии прогноза по регрессионной модели.

В прикладных исследованиях, связанных с построением планов экспериментов, часто используется критерий D-оптимальности. Это объясняется еще и тем, что критерии D- и G-оптимальности связаны между собой. В то же время необходимо отметить, что минимизация максимальной дисперсии в общем случае может не приводить к снижению средней по области дисперсии прогноза. Поэтому использование Q-оптимальных планов в практических задачах регрессионного моделирования актуально. Для широкого внедрения в практику активной идентификации регрессионных моделей концепции Q-оптимальности планов эксперимента необходим арсенал эффективных алгоритмов их построения.

В работе предлагаются и описываются алгоритмы построения дискретных приближенно Q-оптимальных планов. Предлагаемые алгоритмы построены на базе развиваемого подхода последовательного наращивания числа точек в плане, а также процедур замены точек в плане. Полученные такими алгоритмами планы рекомендуются к использованию на практике, когда требуется в среднем хорошая точность прогноза по модели на всей области действия входных факторов.

1. Налимов В.В., Голикова Т.И. Логические основания планирования эксперимента. - М.: Металлургия, 1981. – 151 с.

2. Голикова Т.И., Панченко Л.А., Фридман М.З. Каталог планов второго порядка. Ч. 2. – М.: Изд-во МГУ, 1974. – 384 с.

3. Голикова Т.И., Панченко Л.А. Систематизация планов для оценки полиномиальных моделей второго порядка // Планирование оптимальных экспериментов. – М.: Изд-во МГУ, 1975. – С. 106–149.

4. Дубова И.С. Федоров В.В. Таблицы оптимальных планов II (Насыщенные D-оптимальные планы на кубе). – М.: Изд-во МГУ, 1972. – 39 c. – (Межфакультетская лаборатория статистических методов; вып. 40).

5. Федоров В.В. Теория оптимального планирования эксперимента. – М.: Наука, 1971. – 312 с.

6. Григорьев Ю.Д. Q-оптимальные и близкие к ним планы эксперимента для полиномиальной регрессии на отрезке // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. – 2020. – Т. 86, № 5. – С. 65–72. – DOI: 10.26896/1028-6861-2020-86-5-65-72.

7. Попов А.А. Алгоритмы построения дискретных A-оптимальных планов эксперимента при активной идентификации регрессионных моделей многофакторных систем // Системы анализа и обработки данных. – 2022. – № 2 (86). – С. 39–54. – DOI: 10.17212/2782-2001-2022-2-39-54.

8. Денисов В.И., Попов А.А. А-, Е-оптимальные и ортогональные планы регрессионных экспериментов для полиномиальных моделей / Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика». – Препринт. – М., 1976. – 44 с.

9. Попов А.А. Оптимальное планирование эксперимента в задачах структурной и параметрической идентификации моделей многофакторных систем: монография. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2013. – 296 с.

10. Попов А.А. Последовательные схемы построения оптимальных планов эксперимента // Сборник научных трудов НГТУ. – 1995. – Вып. 1. – С. 39–44.

11. Попов А.А. Последовательные схемы синтеза оптимальных планов эксперимента // Доклады Академии наук высшей школы Российской Федерации. – 2008. – № 1 (10). – С. 45–55.

12. Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.: Наука, 1969. – 367 с.

13. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применения. – М.: Наука, 1968. – 548 с.

14. Searle S.R. Matrix algebra useful for statistics. – 2nd ed. – Wiley, 2017. – 479 p.

15. Mitchell T.J. An algorithm for the construction of D-optimal experimental designs // Technometrics. - 1974. – Vol. 16 (2). – P. 203–210.