Аннотация
Работа посвящена теоретическому исследованию свойств условно оптимальных M-оценок в рамках подхода А.М. Шурыгина к задаче устойчивого оценивания скалярного параметра распределения одномерной случайной величины. В основе подхода лежит использование двух критериев качества оценок – асимптотической дисперсии и неустойчивости, представляющей собой квадрат L2-нормы функции влияния Ф. Хампеля. Условно оптимальные оценки определяются в результате оптимизации одного из критериев при ограничении сверху на величину другого. Рассматриваемая задача является важным частным случаем ранее изученной задачи устойчивого оценивания векторного параметра по неоднородным многомерным неполным данным с использованием критерия качества в виде квадрата весовой L2-нормы функции влияния. В частности, условно оптимальные оценки определяются там с использованием двух указанных критериев с разными весами. В настоящей работе рассматриваются два варианта параметризации условно оптимального семейства оценок. Их использование позволило найти ряд соотношений между основными характеристиками оценок. Показано, как меняются эти характеристики в пределах семейства. В частности, показана монотонность асимптотической дисперсии и неустойчивости как функций параметра, задающего семейство, доказана теорема о единственности оценок. Исследованы также ранее введенные сверхустойчивые условно оптимальные оценки, которые являются расширением семейства в область отрицательных значений параметра, задающего семейство. Для этих оценок оказываются справедливыми те же связи между основными характеристиками, что и для условно оптимальных оценок, получены аналогичные результаты о свойствах этих характеристик. Введено расширенное условно оптимальное семейство как объединение условно оптимальных и сверхустойчивых условно оптимальных оценок. Доказана теорема о единой оптимизационной формулировке для оценок расширенного семейства и их единственности. Для иллюстрации полученных в работе результатов рассмотрены условно оптимальные оценки для параметров сдвига и масштаба распределения Коши. Найдены аналитические выражения для соответствующих оценочных функций и основных характеристик оценок, произведено сравнение с медианными оценками.
Ключевые слова: оценивание параметров, М-оценка, устойчивое оценивание, робастность, функция влияния, параметр сдвига, параметр масштаба, распределение Коши, асимптотическая дисперсия оценки
Список литературы
. Боровков А.А. Математическая статистика. – Новосибирск: Наука, 1997. – 772 с. 2. Шурыгин А.М. Математические методы прогнозирования: учебное пособие для вузов. – М.: Горячая линия–Телеком, 2009. – 180 с. 3. Робастность в статистике: подход на основе функций влияния: перевод с английского / Ф. Хампель, Э. Рончетти, П. Рауссеу, В. Штаэль. – М.: Мир, 1989. – 512 с. 4. Хьюбер П. Робастность в статистике. – М.: Мир, 1984. – 303 с. 5. Лисицин Д.В. Устойчивое оценивание параметров модели по многомерным неоднородным неполным данным // Научный вестник НГТУ. – 2013. – № 1 (50). – С. 17–30. 6. Shevlyakov G., Morgenthaler S., Shurygin A. Redescending M-estimators // Journal of Statistical Planning and Inference. – 2008. – Vol. 138, iss. 10. – P. 2906–2917. – doi: 10.1016/j.jspi.2007.11.008. 7. Lisitsin D.V. Robust estimation of mixed response regression models // Applied Methods of Statistical Analysis. Applications in Survival Analysis, Reliability and Quality Control – AMSA'2013, Novosibirsk, Russia, 25–27 September, 2013: proceedings of the International Workshop. – Novosibirsk, 2013. – P. 139–144. 8. Лисицин Д.В. Устойчивые методы оценивания параметров статистических моделей: учебное пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2013. – 76 с. 9. Лисицин Д.В., Гаврилов К.В. Оценивание параметров финитной модели, устойчивое к нарушению финитности // Сибирский журнал индустриальной математики. – 2013. – Т. 16, № 2 (54). – С. 109–121. 10. Лисицин Д.В., Гаврилов К.В. Об устойчивом оценивании параметров модели при асимметричном засорении данных // Научный вестник НГТУ. – 2008. – № 1 (32). – С. 33–40. 11. Лисицин Д.В., Гаврилов К.В. О некоторых свойствах М-оценок // Сборник научных трудов НГТУ. – 2011. – Вып. 2 (64). – С. 61–68. 12. Лисицин Д.В., Гаврилов К.В. Устойчивое оценивание параметров модели при асимметричном засорении данных // Известия Международной академии наук Высшей школы. – 2006. – № 1 (35). – С. 60–73. 13. Лисицин Д.В. Свойства инвариантности при оценивании параметров модели в условиях байесовского точечного засорения // Доклады Академии наук высшей школы Российской Федерации. – 2010. – № 1 (14). – С. 18–25. 14. Смоляк С.А., Титаренко Б.П. Устойчивые методы оценивания: (статистическая обработка неоднородных совокупностей). – М.: Статистика, 1980. – 208 с. – (Математическая статистика для экономистов).
