Аннотация
Работа посвящена применению теории марковских процессов к решению нелинейных стохастических уравнений, описывающих колебания механических систем. Применение этой теории позволяет определить переходную плотность распределения фазовых переменных выходного процесса, которая дает самое полное вероятностное описание случайных колебаний. Однако область применения марковских методов ограничивается трудностями решения уравнения Фокера–Планка–Колмогорова (ФПК), представляющего собой нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных. Эти трудности возрастают при неаналитических коэффициентах, а также с увеличением числа измерений фазового пространства. Поэтому исследования в направлении расширения применения методов теории марковских процессов к анализу случайных колебании являются актуальными.
В данной работе на основе точного решения уравнения Колмогорова получены явные выражения плотности распределения перемещений дляуравнения Дуффинга и уравнения с сухим трением. Эти выражения использованы для оценки точности приближенных решений, полученных методом статистической линеаризации. В работе также предложены приближенные аналитические решения уравнении нелинейных колебаний, разработанные на основе сочетания теории марковских процессов с методом стохастического усреднения. Решение для квазилинейных систем получено введением «медленно» меняющихся амплитуды и фазы колебаний. Для автономных систем укороченные уравнения для амплитуды и фазы разделяются и можно получить стационарное решение уравнения Колмогорова. Решение для квазиконсервативных систем получено введением новой «медленной» переменной – энергии колебаний. Усреднение стандартного уравнения проводится за период, соответствующий порождающей нелинейной консервативной системе. Этот подход значительно расширяет область применения теории марковских процессов к анализу нелинейных случайных колебаний.
Ключевые слова: нелинейная система, случайные колебания, марковский процесс, плотность распределения, фазовые переменные, белый шум, коэффициенты сноса и диффузии, спектральная плотность, дисперсия, стохастическое усреднение, период колебаний, энергия
Список литературы
1. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. – М.: Советское радио, 1977. – 488 с.
2. Socha L. Linearization in analysis of nonlinear stochastic systems: recent results. Pt. 1. Theory // Applied Mechanics Reviews. – 2005. – Vol. 58, iss. 3. – P. 178–205. – doi: 10.1115/1.1896368.
3. ДиментбергМ.Ф. Нелинейныестохастическиезадачимеханическихколебаний. – М.: Наука, 1980. – 368 с.
4. Николаенко Н.А., Ульянов С.В. Статистическая динамика машиностроительных конструкций. – М.: Машиностроение, 1977. – 368 с.
5. Красовский А.А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических сис-тем. – М.: Наука, 1974. – 244 с.
6. Ibrahim R.A. Recent results in random vibrations of nonlinear mechanical systems // Journal of Mechanical Design. – 1995. – Vol. 117, iss. B. – P. 222–233. – doi: 10.1115/1.2836461.
7. Диментберг М.Ф. Случайные процессы в динамических системах с переменными па-раметрами. – М.: Наука, 1989. – 176 с.
8. Митропольский Ю.А., Коломиец В.Г. Усреднение в стохастических системах // Украинский математический журнал. – 1971. – Т. 23, № 3. – С. 318–345.
9. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. – М.: Наука, 1979. – 336 с.
10. Макаров Б.П. Нелинейные задачи статистической динамики машин и приборов. – М.: Машиностроение, 1983. – 264 с.
11. Effect of stochasticity on targeted energy transfer from a linear medium to a strongly nonlinear attachment// T.P. Sapsis, A.F. Vakakis, L.A. Bergman // Probabilistic Engineering Mecha-nics. – 2011. – Vol. 26, iss. 2. – P. 119–133.–doi: 10.1016/j.probengmech.2010.11.006.
12. Cross E.J., Worden K. Approximation of the Duffing oscillator frequency response function using the FPK equation // Journal of Sound and Vibration. – 2011. – Vol. 330,iss. 4. – P. 743–756. – doi: 10.1016/j.jsv.2010.08.034.
13. Lacquanti S., Riccardi G. A probabilistic linearization method for nonlinear systems subjected to additive an multiplicative excitations // International Journal of Non-Linear Mechanics. – 2006. – Vol. 41, iss. 10. – P. 1191–1205. – doi: 10.1016/j.ijnonlinmec.2006.12.002.
14. Haung Z.L., Zhu W.Q., Suzuki Y. Stochastic averaging of strongly nonlinear inder combined harmonic and white noise excitations // Journal of Sound and Vibration. – 2002. – Vol. 238, iss. 2. – P. 233–256. – doi: 10.1006/jsvi.2000.3083.
15. Роев Б.А. Взаимодействие вынужденных и параметрических колебаний в системах со случайными параметрами // Вестник МГУП имени Ивана Федорова. – 2005. – № 4. – С. 47–57.
16. Бакиров Ж.Б., Михайлов В.Ф. Анализ нелинейных случайных колебаний методом усреднения // Прикладная математика и механика. – 2014. – Т. 78, вып. 5. – С. 714–720.
17. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежости в расчетах сооружений. – М.: Стройиздат, 1983. – 351 с.
18. Бакиров Ж.Б., Михайлов В.Ф. Моделирование случайных процессов // Вестник Карагандинского университета. Серия: Математика. – 2009. – № 2. – С. 98–103.
19. Справочник по специальным функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами: пер. с англ. / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 830 с.
20. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. – М.: Наука, 1969. – 368 с.
