ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК
ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Аннотация
К настоящему времени накоплено большое количество экспериментальных данных о разнообразных процессах так называемой аномальной диффузии, для которых, в частности, дисперсия меняется нелинейным по времени образом. Разнообразные методы моделирования аномальной диффузии связаны со следующими свойствами соответствующих процессов: «сильная форма» зависимости приращений; нестационарность приращений (см., например, [1]–[4]). Известными примерами таких процессов являются модели блуждания в непрерывном времени (общепринятая аббревиатура CTRW), фрактальное (дробное) броуновское движение (см., например, [4, 5]). На сегодняшний день по всей видимости не существует форматов моделирования (см. [3]), охватывающих все указанные свойства, подобно тому как винеровский процесс является классическим форматом броуновского движения. Вопросы моделирования процессов переноса в сингулярных фазовых пространствах ставились в работах [1–4] и др., где рассматривалось моделирование процессов переноса в сплошных средах с фрактальной структурой, рассматриваемых как подмножества нулевой лебеговой и некоторой ненулевой хаусдорфовой меры. В качестве инструмента моделирования в этих работах применялся аппарат дробного интегро-дифференциального исчисления. В этой работе мы отходим от парадигмы того, что процессы переноса моделируются в сплошных средах с фрактальной структурой. В работе построено мастер-уравнение, которое позволяет моделировать процессы аномальной диффузии таким образом, чтобы учитывать одновременно фрактальную структуру последействия и корреляционные свойства процесса. Мастер-уравнение позволяет получить в качестве предельных случаев винеровский процесс и фрактальное броуновское движение. Настоящая работа является естественным продолжением цикла работ [6–9], в котором аномальность переноса массы, энергии, импульса существенно связывалась с введением сингулярных относительно меры Лебега величин.

Список литературы

1. Федер Е. Фракталы. – М.: Мир, 1991. – 254 c.
2. Зеленый Л.М., Милованов А.В. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // Успехи физических наук. – 2004. – Т. 174, № 8. – C. 809–852.
3. Заславский Г.М. Гамильтонов хаос и фрактальная динамика: пер. с англ. – М.: Институт компьютерных исследований; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2010. – 472 с.
4. Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // Успехи физических наук. – 2003. – Т. 173, № 8. – C. 847–876.
5. Mandelbrot B., Ness J. van. Fractional Brownian motions, fractional noise and applications // SIAM Review. – 1968. – Vol. 10. – P. 422–437.
6. Аркашов Н.С. Эргодические свойства одного преобразования на пространстве с мерой Хаусдорфа и самоподобной структурой // Математические заметки. – 2015. – Т. 97,
   
   № 2. – С. 163–173.
7. Аркашов Н.С., Селезнев В.А. О модели случайного блуждания на множествах с самоподобной структурой // Сибирский математический журнал. – 2013. – Т. 54, № 6. – С. 1216–1236.
8. Аркашов Н.С., Селезнев В.А. О модели суб- и супердиффузии на топологических пространствах с самоподобной структурой // ТВП. – 2015. – Т. 60, № 2. – С. 209–226.
9. Селезнев В.А., Аркашов Н.С. Об условиях формирования процессов суб- и супердиффузии на самоподобных множествах // Доклады АН ВШ РФ. – 2014. – № 4 (25). – С. 33–38.
10. Аркашов Н.С., Борисов И.С. Гауссовская аппроксимация процессов частных сумм скользящих средних // Сибирский математический журнал. – 2004. – Т. 45, № 6. – С. 1221–1255.
11. Аркашов Н.С., Борисов И.С., Могульский А.А. Принцип больших уклонений для процессов частных сумм скользящих средних // ТВП. – 2007. – Т. 52, № 2. –
    
    С. 209–239.
12. Горин Е.А., Кукушкин Б.Н. Интегралы, связанные с канторовой лестницей // Алгебра и анализ. – 2003. – Т. 15, № 3. – C. 188–220.
13. Ширяев А.Н. Вероятность. – М.: Наука, 1980. – 574 c.
14. Edgar G. Measure, topology, and fractal geometry. – New York: Springer, 2008. – 268 p.