ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК
ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Рассмотрен метод построения сходящихся последовательностей решений в численных задачах расчета упругого деформируемого тела при использовании многосеточных конечных элементов (МнКЭ). Достоинством метода является фиксированность размерности основной системы линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов (МКЭ) при построении приближенных решений. Метод является аналогом hр-версии МКЭ увеличения размерности конечно-элементного представления области задачи. Апостериорные оценки погрешностей решений проводятся на основе метода ZZ, предложенного

O.C. Zienkiewicz и J.Z. Zhu, в норме L₂. При построении «точных» решений в методе ZZ используются МнКЭ, которые учитывают неоднородную структуру материалов и образуют дискретные модели малой размерности.

В качестве примера представлен анализ сходимости последовательности решений и оценок погрешностей в численном расчете напряженно-деформированного состояния трехслойных цилиндрических оболочек при локальном нагружении. Показано, что применение МнКЭ при традиционном способе измельчения сетки дискретизации (h-версия МКЭ) и предлагаемом методе порождает сходящиеся последовательности приближенных решений в норме L₂. На основе метода ZZ найдены апостериорные оценки погрешностей. Проведено сравнение оценок погрешностей и характера сходимости в двух вариантах конечно-элементной дискретизации при использовании трехсеточных конечных элементов. Применение МнКЭ в предлагаемом методе построения приближенных решений позволяет получать системы уравнений МКЭ с малой размерностью, что обеспечивает экономию ресурсов ЭВМ в сравнении с традиционным способом дискретизации.

1.  Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The finite element method: its basis and fundamentals. – Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2013. – 715 p.

2.  Reddy J.N. Mechanics of laminated composite plates and shells. Theory and analysis. – New York: CRC Press, 2004. – 831 р.

3.  Голованов А.И., Тюленева О.И., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. – М.: Физматлит, 2006. – 392 с.

4.  Кузьмин М.А., Лебедев Д.Л., Попов Б.Г. Расчеты на прочность элементов многослойных композитных конструкций. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. – 341 с.

5.  Матвеев А.Д., Гришанов А.Н. Расчет композитных цилиндрических оболочек с применением многосеточных элементов // Вестник СибГАУ. – 2016. – № 3. – С. 587–594.

6.  Матвеев А.Д., Гришанов А.Н. Трехмерные композитные многосеточные конечные элементы оболочечного типа // Известия АлтГУ. – 2017. – № 4. – С. 120–125.

7.  Matveev A.D., Grishanov A.N. Multigrid finite elements in the calculations of multilayer cylindrical shells // Siberian Journal of Science and Technology. – 2018. – Vol. 19, N 1. – P. 27–36.

8.  Gratsch T.A., Bathe K.-J. A posteriori error estimation techniques in practical finite element analysis // Computers and Structures. – 2005. – Vol. 83. – P. 235–265.

9.  Babuska I., Whiteman J. R., Strouboulis T. Finite elements: an introduction to the method and error estimation. – Oxford: Oxford University Press, 2011. – 336 p.

10.   Zienkiewicz O.C., Zhu J.Z. A simple error estimator and adaptive procedure for practical engineering analysis // International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 1987. – Vol. 24. – P. 337–357.

11.   Yunus S.M., Pawlak T.P., Wheeler M.J. Application of the Zienkiewicz-Zhu error estimator for plate and shell analysis // International Journal for Numerical Methods in Enginee­ring. – 1990. – Vol. 29. – P. 1281–1298.