ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК
ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Аннотация
Методами группового анализа исследуется имеющее ненулевой обобщенный инвариант Лапласа и допускающее группу движений максимального порядка уравнение двумерной модели акустики в вертикально стратифицированной слоистой среде. Получены все существенно различные подмодели математической модели, задаваемой этим уравнением. Найдены простейшие существенно различные (не связанные обратимыми точечными преобразованиями) инвариантные решения этого уравнения. Применение к этим решениям полученных формул производства решений дает 28-параметрическое множество существенно различных точных решений уравнения. Применение к этим решениям инфинитезимальных формул производства решений дает счетное множество его точных решений. Линейная оболочка этого множества образует бесконечномерное векторное пространство (со счетным базисом) точных решений уравнения. Тем самым создана база данных его точных решений. Из вида инвариантных решений следует, что характер решения уравнения существенно зависит от волнового числа. При низкочастотных колебаниях решение полиномиально зависит от переменной, определяющей слоистость среды. При высокочастотных колебаниях решение является с точностью до весового множителя периодическим. Методом удвоения допускаемой группы найдено фундаментальное решение этого уравнения, что делает возможным построение формул Грина и получение обобщенных формул Пуассона решений краевых задач. Полученные результаты, в частности, могут быть использованы при расчетах, связанных с проведением геофизической разведки нефти и газа в слоистых средах и в гидроакустике.

Список литературы

1. Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. – М.: Наука, 1989. – 461 с.
2. Chirkunov Yu.A. Group Classification of First-Order Linear Differential Equations with Two Unknown Functions of Two Variables // Soviet Mathematics. Doklady. – 1991. – No. 2. – Pp. 404–408.
3. Chirkunov Yu.A. Steady-State Oscillations in Continuously Inhomogeneous Medium Described by a Generalized Darboux Equation // Journal of Applied and Industrial Mathematics. –2010. – No. 4. – Pp. 19–28.
4. Чиркунов Ю.А., Хабиров С.В. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012. – 659 с.
5. Ovsiannikov L.V. Group Analysis of Differential Equations. – New York: Academic Press. – 1982. – 399 p.
6. Whittaker E.T. and Watson G.N. A Course of Modern Analysis. Vol. 2, Cambridge, University Press. – 1962. – 515 p.
7. Romanov V.G., Chirkunov Yu.A. Nonscattering acoustic objects in an anisotropic medium of special kind // Doklady Mathematics. – 2013. – Vol. 87. – No. 1. – Pp. 73–75.