ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК
ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Аннотация
Полиномиальный подход к синтезу линейных систем управления предусматривает размещение ее полюсов в заданной области. Преобладающие на практике регуляторы пониженного порядка не позволяют задавать расположение полюсов произвольно; их параметры выбираются так, чтобы полюса попадали в приемлемую область. Затем выбор корректируется в соответствии с некоторым критерием оптимальности расположения полюсов. В статье исследуется геометрический подход к оптимальности, когда указывается вид целевой области, накрывающей все полюса системы, и ищутся такие значения параметров, при которых достигается самое левое расположение области этого вида на комплексной плоскости. В частности, поиск самого левого положения границы для всевозможных полуплоскостей, накрывающих полюса системы, эквивалентен максимизации степени устойчивости системы как функции параметров регулятора. Критические расположения полюсов характеризуются наличием на правой границе области наибольшего числа действительных (т.е. наибольшей кратности) и комплексно сопряженных полюсов. В статье такие критические расположения представляются с помощью критических корневых диаграмм – обобщенных корневых портретов. Указывается рекуррентная процедура построения полного списка таких диаграмм для различных видов целевых областей и произвольного числа параметров регулятора. Устанавливается, что число различных критических диаграмм растет в зависимости от числа параметров регулятора по закону Фибоначчи. В предыдущих работах авторов показано, что техника корневых многочленов позволяет алгебраически выяснять, реализуется ли каждая корневая диаграмма в конкретной системе управления и достигается ли в ней экстремальное (крайнее левое) положение целевой области. В настоящей статье решается вопрос о полноте такого рассмотрения.

Список литературы

1. Unsolved Problems in Mathematical Systems and Control Theory / Ed. by V.D. Blondel, A. Megretski. – Princeton, Oxford: Princeton University Press, 2004. – 350 p. 
2. Поляк Б.Т. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к их решению / Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков // Автоматика и телемеханика. – 2005. – № 5. – С. 7–46. 
3. Henrion D. Positive polynomial matrices and improved LMI robustness conditions / D. Henrion, D. Arzelier, D. Peaucelle // Automatica. – 2003. – Vol. 39, iss. 8. – P. 1479–1485. 
4. Kano M. The state of the art in chemical process control in Japan: Good practice and ques-tionnaire survey / M. Kano, M. Ogawa // Journal of Process Control. – 2010. – Vol. 20, iss. 9. – P. 969–982. 
5. Некоторые методы синтеза регуляторов пониженного порядка и заданной структуры / В.А. Бойченко, А.П. Курдюков, В.Н. Тимин, М.М. Чайковский, И.Б. Ядыкин // Управление большими системами. – 2007. – Вып. 19. – С. 23–126. 
6. Воевода А.А. Оптимизация расположения полюсов системы автоматического управления с регулятором пониженного порядка / А.А. Воевода, А.В. Чехонадских // Автометрия. – 2009. – Т. 45, № 5. – С. 113–123. 
7. Воевода А.А. Преодоление недифференцируемости при оптимизационном синтезе систем автоматического управления / А.А. Воевода, А.В. Чехонадских // Автометрия. – 2010. – Т. 46, № 5. – С. 11–17. 
8. Воевода А.А. О понижении порядка стабилизирующего управления на примере двойного перевернутого маятника / А.А. Воевода, А.Н. Корюкин, А.В. Чехонадских // Автометрия. – 2012. – Т. 48, № 6. – С. 69–83. 
9. Шубладзе А.М. Достаточные условия экстремума в системах максимальной степени устойчивости. I // Автоматика и телемеханика. – 1997. – № 3.– С. 93–105. 
10. Шубладзе А.М. Достаточные условия экстремума в системах максимальной степени устойчивости. II // Автоматика и телемеханика. – 1997. – № 8. – С. 67–79. 
11. Исследование оптимальных по степени устойчивости решений при ПИД-управлении. Ч. 1 / А.М. Шубладзе, В.Е. Попадько, А.А. Якушева, С.И. Кузнецов // Управление большими системами. – 2008. – Вып. 22. – C. 86–100. 
12. Исследование оптимальных по степени устойчивости решений при ПИД-управлении. Ч. 2 / А.М. Шубладзе, В.Е. Попадько, А.А. Якушева, Н.М. Бобриков, С.И. Кузнецов // Управление большими системами. – 2008. – Вып. 23. – C. 39–55. 
13. Чехонадских А.В. Метрика, градуировка и оптимизация расположения характеристических корней системы автоматического управления // Научный вестник НГТУ. – 2009. – № 1 (34). – С. 165–182. 
14. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. – М.: Наука, 1978. – 144 с. 
15. Koryukin A.N. Extreme root location of real polynomials and stabilization of 3-mass control system / А.N. Koryukin, A.V. Chekhonadskikh // Algebra and Model Theory 8: Collection of papers. – Novosibirsk: NSTU Publ., 2011. – P. 19–39. 
16. Корюкин А.Н. Предел устойчивости трехмассовой системы с регулятором 3-го порядка. Ч. 1 / А.Н. Корюкин, А.В. Чехонадских // Сборник научных трудов НГТУ. – 2011. – Вып. 4 (66). – C. 3–22.
17. Корюкин А.Н. Предел устойчивости трехмассовой системы с регулятором 3-го порядка. Ч. 2 / А.Н. Корюкин, А.В. Чехонадских // Сборник научных трудов НГТУ. – 2012. – Вып. 1 (67). – C. 37–56. 
18. Чехонадских А.В. Алгебраический метод синтеза алгоритмов автоматического управления пониженного порядка: дис. ... д-ра техн. наук / Новосиб. гос. техн. ун-т. – Ново-сибирск, 2013. – 341 с.