Аннотация
В работе построен случайный процесс, который позволяет моделировать процессы аномальной диффузии таким образом, чтобы учитывать одновременно структуру последействия, определяемую канторовым множеством, и корреляционные свойства процесса. Представленный процесс представляет собой нормированный процесс частных сумм скользящих средних, построенных по стационарной последовательности случайных величин, при этом неслучайная последовательность этих скользящих средних определяет структуру последействия. Отметим, что форма зависимости упомянутой стационарной последовательности, вообще говоря, не укладывается в общепринятые схемы. В частности, классическое сильное (или равномерно сильное) перемешивание здесь уже может не иметь места. Стало быть, в данном случае далеко не всегда могут быть использованы классические результаты по асимптотическому анализу сумм стационарно связанных случайных величин. Получена аппроксимация этого процесса в виде гауссовского процесса, обладающего свойством самоподобия.В частности, в предельных случаях этим гауссовским процессом является винеровский процесс или фрактальное (дробное) броуновское движение. Мотивацией для рассмотрения таких процессов является то, что разнообразные методы моделирования аномальной диффузии связаны со следующими свойствами соответствующих процессов: «сильная форма» зависимости приращений; нестационарность приращений (см., например, [1–4]). Известными примерами таких процессов являются модели блуждания в непрерывном времени (общепринятая аббревиатура CTRW), фрактальное (дробное) броуновское движение (см, например, [4–7]). На сегодняшний день, по всей видимости, не существует форматов моделирования (см. [3, 8]), охватывающих все указанные свойства, подобно тому как винеровский процесс является классическим форматом броуновского движения.
Ключевые слова: множество Кантора, фрактальное броуновское движение, винеровский процесс, скользящие средние, принцип инвариантности, гауссовский процесс, самоподобие, аномальная диффузия, предельные теоремы
Список литературы
1. Аркашов Н.С., Селезнев В.А. О модели случайного блуждания на множествах с самоподобной структурой // Сибирский математический журнал. – 2013. – Т. 54, № 6. – С. 1216–1236.
2. Зеленый Л.М., Милованов А.В. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // Успехи физических наук. – 2004. – Т. 174, № 8. – C. 809–852.
3. Заславский Г.М. Гамильтонов хаос и фрактальная динамика: пер. с англ. – М.: Регулярная и хаотическая динамика; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2010. – 472 с.
4. Учайкин В.В. Дробно-дифференциальная феноменология аномальной диффузии космических лучей // Успехи физических наук. – 2013. – Т. 183, № 11. – C. 1175–1223.
5. Mandelbrot B., Van Ness J. Fractional Brownian motions, fractional noise and applications // SIAM Review. – 1968. – Vol. 10. – P. 422–437.
6. Аркашов Н.С., Селезнев В.А. О модели суб- и супердиффузии на топологических пространствах с самоподобной структурой // ТВП. – 2015. – Т. 60, № 2. – С. 209–226.
7. Milovanov A., Lomin A. Topological approximation of the nonlinear Anderson model // Physical review E. – 2014. – Vol. 89, iss. 6. – P. 062921.
8. Anomalous diffusion modeling by fractal and fractional derivatives / W. Chena, H. Suna, X. Zhanga, D Korošak // Computers & Mathematics with Applications. – 2010. – Vol. 59, iss. 7. – P. 1754–1758.
9. Hutchinson J. Fractals and self similarity // Indiana University Mathematics Journal. – 1981. – Vol. 30, N 5. – P. 713–747.
10. Edgar G. Measure, topology, and fractal geometry. – New York: Springer, 2008. – 268 p.
11. Горин Е.А., Кукушкин Б.Н. Интегралы, связанные с канторовой лестницей // Алгебра и анализ. – 2003. – Т. 15, № 3. – C. 188–220.
12. Ширяев А.Н. Вероятность. – М.: Наука, 1980. – 574 с.
13. Аркашов Н.С., Борисов И.С. Гауссовская аппроксимация процессов частных сумм скользящих средних // Сибирский математический журнал. – 2004. – Т. 45, № 6. – С. 1221–1255.
14. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. – М.: Физматлит, 2003. – 272 c.
15. Leadbetter M., Rotsen H., Lindgren G. Extremes and related properties of random sequences and processes. – New York: Springer, 1983. – 392 p.
16. Billingsley P. Convergence of probability measures. – New York: Wiley, 1999. – 296 p.
