СИСТЕМЫ АНАЛИЗА И ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

В качестве модели стационарной динамической системы часто выступает интегральное уравнение Вольтера первого рода с разностным ядром. Для такой модели задача непараметрической идентификации заключается в оценивании этого разностного ядра (называемого импульсной переходной функции) по измеренным значениям входного и выходного сигналов идентифицируемой динамической системы[1]. Как известно, эта задача является некорректно поставленной, т. е. решение может не существовать, быть не единственным и обладать неустойчивостью по отношению к погрешностям (шумам измерения) исходных данных. Для получения единственного устойчивого (но приближенного) решения используются различные методы регуляризации, в частности метод регуляризации А.Н. Тихонова [2,3]. При этом вычислительной основой алгоритмов, реализующих эти методы, является дискретное преобразование Фурье (ДПФ) [4,5]. Характерной чертой этих алгоритмов является то, что коэффициенты ДПФ регуляризированного решения зависят от одного параметра, называемого параметром регуляризации. Выбором этого параметра достигается приемлемая точность регуляризированного решения и его сходимость. При этом (применительно к рассматриваемой задаче идентификации) предполагают, что входной сигнал (ядро интегрального уравнения) задан точно, а выходной сигнал системы регистрируется с некоторой случайной ошибкой. Однако такое предположение редко выполняется на практике, так как и входной и выходной сигналы системы измеряются и регистрируются приборами примерно одинакового класса точности и, следовательно, и входной и выходной сигналы задаются с случайными погрешностями – шумами измерений. В работах автора (например, [5,6]) для случая, когда эти шумы некоррелированы, был предложен регуляризирующий алгоритм, который учитывал эти шумы как при построении устойчивого решения, так и при оценивании оптимального параметра регуляризации. Однако, наличие только одного «управляющего» параметра – параметра регуляризации – не позволяет подобрать для каждого коэффициента ДПФ решения свой регуляризирующий множитель, минимизирующий ошибку вычисления этого коэффициента и всего регуляризированного решения в целом. Поэтому в данной работе предлагается подход к нахождению для каждого коэффициента ДПФ регуляризированного решения своего квазиоптимального регуляризирующего множителя из условия минимума среднеквадратической ошибки идентификации. Построена итерационная процедура уточнения отношения «шум/сигнал», входящего в регуляризирующий множитель, и находятся предельные точки этой процедуры. Выполненный вычислительный эксперимент показал более высокую точность идентификации предложенным локальным регуляризирующим алгоритмом по сравнению с регуляризирующим алгоритмом, зависящим от одного параметра регуляризации.

1. Greblicki W., Pawiak M. Nonparametric system identification. – Cambridge: Cambridge University Press, 2008. – 400 p.

2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректно поставленных задач. – М.: Наука, 1979. – 278 с.

3. Численные методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, А.В. Гончаровский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. – М.: Наука, 1990. – 231 с.

4. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический аспект. – М.: Изд-во МГУ, 1992. – 319 с.

5. Воскобойников Ю.Е. Устойчивые алгоритмы решения обратных измерительных задач. – Новосибирск: Сибстрин, 2007. – 184 с.

6. Воскобойников Ю.Е., Литасов В.А. Устойчивый алгоритм восстановления изображений при неточно заданной аппаратной функции // Автометрия. – 2006. – № 6. – С. 13–22.

7. Воскобойников Ю.Е., Литасов В.А. Регуляризирующий алгоритм непараметрической идентификации при неточных исходных данных // Научный вестник НГТУ. – 2005. – № 2 (20). – С. 33–45.

8. Арсенин В.Я., Криксин Ю.А., Тимонов А.А. Метод локальной регуляризации линейных операторных уравнений и его приложения // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1988. – Т. 28, № 6. – С. 793–802.

9. Information complexity-based regularization parameter selection for solution of ill conditioned inverse problems / A.M. Urmanov, A.V. Gribok, H. Bozdogan, J.W. Hines, R.E. Uhrid // Inverse Problems. – 2002. – Vol. 18, N 2. – P.  L1–L9.

10. Vogel C.R. Non-convergence of L-curve regularization parameter selection method // Inverse Problems. – 1996. – Vol. 12, N 4. – P. 535–547.

11. Lukas M.A. Comparison of parameter choice methods for regularization with discrete noisy data // Inverse Problems. – 2000. – Vol. 14, N 2. – P. 161–184.

12. Engl H.W., Hanke M., Neubauer F. A regularization of inverse problems. – Dordrecht; Boston: Kluwer Academic Publishers, 2000. – 383 p.

13. Титаренко В.Н., Ягола А.Г. Применение метода GVC для корректных и некорректных задач // Вестник МГУ. Серия 3, Физика, астрономия. – 2000. – № 4. – С. 15–18.

14. Voskoboinikov Yu.E., Mukhina I.N. Regularizing algorithm for image and signal reconstructions with refinement of the local noise to signal ratios // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. – 1999. – N 4. – P. 60–70.

15. Воскобойников Ю.Е., Крысов Д.А. Непараметрическая идентификация динамической системы при неточном входном сигнале // Автоматика и программная инженерия. – 2017. – № 4 (22). – С. 86–93.