СИСТЕМЫ АНАЛИЗА И ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

При численном моделировании различных динамических систем часто возникает вопрос эффективности того или иного численного метода интегрирования применительно к определенному классу задач. Важным классом задач Коши являются жесткие задачи высокой размерности. Одним из примеров такой задачи является модель проникновения помеченных радиоактивной меткой антител в пораженную опухолью ткань живого организма. Методом прямых исходная начально-краевая задача для системы дифференциальных уравнений в частных производных аппроксимируется задачей Коши. Приведена компьютерная модель, выполненная в программном комплексе SimInTech. Проведен сравнительный анализ эффективности явных адаптивных методов и диагонально-неявных методов при различных размерах шага сетки по пространственной переменной. Показано, что наиболее эффективными при решении задач рассмотренного класса являются диагонально-неявные методы интегрирования типа Рунге-Кутты – DIRK2 и DIRK4 из пакета SimInTech. Метод DIRK3 уступает в связи с большим количеством вычислений матрицы Якоби. Предпочтительным в данном случаем скорее является метод DIRK2, так как он имеет при практически той же производительности большее количество шагов по времени и не так сильно увеличивает шаг интегрирования при сравнительно низких настройках точности метода интегрирования. Из явных методов типа Рунге-Кутты с адаптивной численной схемой наиболее эффективным для решения задач подобного класса является метод «Адаптивный-5». Для задач подобного класса можно рекомендовать использование явных методов интегрирования «Адаптивный-5», «Адаптивный-1» при небольшой размерности системы. Традиционные неявные методы интегрирования Гира и Эйлера также эффективно решают данную задачу при условии эффективной реализации алгоритма вычисления матрицы Якоби.

1. Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б. Моделирование систем. Динамические и гибридные системы. – СПб.: БХВ-Петербург, 2012. – 224 с.

2. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений: жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. – М.: Мир, 1999. – 685 с.

3. Cellier F.E., Kofman E. Continuous system simulation. – Springer US, 2006. – 644 p.

4. Скворцов Л.М. Численное решение обыкновенных дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений. – М.: ДМК Пресс, 2018. – 230 с. – ISBN 978-5-97060-636-0.

5. Mazzia F., Iavernaro F. Test set for initial value problem solvers. Report 40/2003 / Department of Mathematics, University of Bari. – Bari, Italy, 2003.

6. Среда динамического моделирования технических систем SimInTech: практикум по моделированию систем автоматического регулирования / Б.А. Карташов, Е.А. Шабаев, О.С. Козлов, А.М. Щекатуров. – М.: ДМК Пресс, 2017. – 424 с. – ISBN 978-5-97060-482-3.

7. Скворцов Л.М. Явные адаптивные методы численного решения жестких систем // Математическое моделирование. – 2000. – Т. 12, № 12. – С. 97–107.

8. Скворцов Л.М. Диагонально неявные FSAL-методы Рунге–Кутты для жестких и дифференциально-алгебраических систем // Математическое моделирование. – 2002. – Т. 14, № 2. – С. 3–17.

9. Скворцов Л.М. Неявный метод пятого порядка для численного решения дифференциально-алгебраических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2015. – Т. 55, № 6. – С. 978–984.

10. Alexander R. Diagonally implicit Runge–Kutta methods for stiff O.D.E.'s // SIAM Journal on Numerical Analysis. – 1977. – Vol. l4, N 6. – P. l006–1021.

11. Lioen W.M., Swart J.J.B de. Test set for initial value problem solvers. Report MAS-R9832 / Centrum Wiskunde & Informatica (CWI). – Amsterdam, December 1998.

12. Программный комплекс для исследования динамики и проектирования технических систем / О.С. Козлов, Д.Е. Кондаков, Л.М. Скворцов, К.А. Тимофеев, В.В. Ходаковский // Информационные технологии. – 2005. – № 9. – С. 20–25.

13. Kværnø A. Singly diagonally implicit Runge–Kutta methods with an explicit first stage // BIT Numerical Mathematics. – 2004. – Vol. 44, N 3. – P. 489–502.

14. Hosea M.E., Shampine L.F. Analysis and implementation of TR BDF2 // Applied Numerical Mathematics. – 1996. – Vol. 20, N 1–3. – P. 21–37.

15. Левыкин А.И., Новиков А.Е., Новиков Е.А. (m, k)-схемы решения дифференциально-алгебраических и жестких систем // Сибирский журнал вычислительной математики. – 2020. – Т. 23, № 1. – С. 39–51.