Аннотация
В качестве критериев оптимальности планов эксперимента обычно используют различные выпуклые функционалы от информационной матрицы плана. Как правило, это функционалы типа матричных средних. К числу таких функционалов, в частности, относятся такие хорошо известные функционалы, как критерии Д-, А- и Е-оптимальности.
В данной работе в качестве критерия оптимальности планов регрессионных экспериментов предлагается
-функционал типа матричной дисперсии. Доказывается выпуклость этого функционала и устанавливаются необходимые и достаточные условия оптимальности соответствующих планов. При доказательстве выпуклости -функ-ционала существенно используется понятие выпуклости по Шуру.
Для иллюстрации полученных результатов в работе рассмотрены два примера. В обоих случаях в качестве функции регрессии выбирается квадратичная парабола, заданная на отрезке [–1, 1]. В первом примере получена аналитическая зависимость целевого функционала от весов точек плана, подтверждающая его выпуклость. Во втором примере планы эксперимента для квадратичной параболы, оптимальные по различным критериям, сравниваются с аналитически найденным -планом.
В заключении предлагается еще один критерий оптимальности, который не входит в класс матричных средних и представляет собой коэффициент обусловленности информационной матрицы плана. Высказывается предположение о его выпуклости. Для данного критерия также построен соответствующий план, удовлетворяющий необходимому условию оптимальности. Однако достаточные условия оптимальности данного плана пока остаются неизвестными.
Ключевые слова: план эксперимента, выпуклый функционал, информационная функция, класс матричных средних, матричная дисперсия, функционал, порядок Левнера, выпуклость по Шуру, квадратичная регрессия, неравенство Беллмана, условия оптимальности
Список литературы
1. Батасова В.С., Гаврилов В.А. Оптимальное расширение локальных сейсмотелеметрических сетей Камчатки // Вулканология и сейсмология. – 1990. – Вып. 1. – С. 91–103.
2. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. – М.: Мир, 1965. – 276 с.
3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.: Наука, 1969. – 368 с.
4. Берсенев С.М., Саблин Н.И. Планирование помехоустойчивых регрессионных экспериментов // Заводская лаборатория. – 1976. – Т. 42, вып. 3. – С. 314–316.
5. Современная актуарная теория риска / Р. Каас, М. Гувертс, Ж. Дэнэ, М. Денут. – М.: Янус-К, 2008. – 376 с.
6. Лаптев В.Н. Некоторые вопросы синтеза оптимальных планов регрессионных экспериментов с помощью ЭВМ: дис. ... канд. техн. наук; Новосиб. электротехн. ин-т. – Новосибирск, 1974. – 129 с.
7. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения. – М.: Мир, 1983. – 576 с.
8. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. – М.: Наука, 1971. – 312 с.
9. Федоров В.В. Численные методы построения оптимальных планов для регрессионных экспериментов // Кибернетика. 1975. – Вып. 1. – C. 124–130.
10. Kiefer J.C. General equivalence theory for optimum designs (approximate theory) // The Annals of Statistics. – 1974. – Vol. 2, № 5. – P. 849–879.
11. Loevner C. Über monotone Matrixfunctionen // Mathematische Zeitschrift. – 1934. – Vol. 38. – P. 177–216.
12. Olkin I., Pratt J. A multivariate Tschbychev's inequality // Annals of Mathematical Statistics. – 1958. –Vol. 29. – P. 226–234.
13. Pukelsheim F. Optimal Design of Experiments. – Philadelphia, USA: SIAM, 2006. – 453 p. – (Classics in Applied Mathematics; vol. 50).
14. Whittle P. A multivariate generalization of Tschbychev's inequality // The Quarterly Journal of Mathematics. – 1958. – Vol. 9, no. 1. – P. 232–240.
