Аннотация
В статье рассматривается важная составляющая алгебраического метода синтеза алгоритмов автоматического управления пониженного порядка для линейных одноканальных систем. Полиномиальный подход к нахождению оптимального регулятора для такой системы опирается на геометрическую интерпретацию инженерных представлений об оптимальности: полюса системы должны располагаться в максимально сдвинутой влево области заданного вида в левой комплексной полуплоскости. Максимальный сдвиг, как правило, означает, что на правой границе области, накрывающей все полюса – на прямой, на конусе, на гиперболе, оказывается наибольшее их число. Уравнения относительно координат этих правых полюсов (корневых координат) связывают степени свободы, обеспечивающиеся настраиваемыми параметрами регулятора. А само взаимное расположение полюсов соответствует критической корневой диаграмме.
Критическое расположение полюсов означает наличие у характеристического многочлена системы определенного множителя – корневого многочлена. Коэффициенты характеристического многочлена зависят от параметров управления, причем для одноканальных систем эта зависимость линейна, тогда как коэффициенты корневого многочлена зависят от корневых координат. Поделив характеристический многочлен на корневой и приравняв остаток к нулю, можно получить систему уравнений, связывающую параметры управления и корневые координаты, что позволяет выразить первые через последние. Этот прием был продемонстрирован на нескольких содержательных примерах, однако обоснования непустоты и достаточности системы уравнений не было. В статье теоретически восполняется указанный пробел; рассмотрение основывается на анализе свойств многочленов от лапласовой переменной s, коэффициенты которых оказываются линейными функциями от параметров управления и симметрическими многочленами от правых корней.
Ключевые слова: автоматическое управление, оптимальное управление, линейная одноканальная система, регулятор пониженного порядка, оптимальное расположение полюсов, корневые координаты, критическая корневая диаграмма, корневой многочлен, симметрические многочлены
Список литературы
1. Unsolved problems in mathematical systems and control theory // Ed. by V.D. Blondel, A. Megretski. – Princeton, Oxford: Princeton University Press, 2004. – 350 p.
2. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к их решению // Автоматика и телемеханика. – 2005. – № 5. – С. 7–46.
3. Kano M., Ogawa M. The state of the art in chemical process control in Japan: Good practice and questionnaire survey // Journal of Process Control. – 2010. – Vol. 20, iss. 9. – P. 969–982. – doi:10.1016/j.jprocont.2010.06.013.
4. Henrion D., Arzelier D., Peaucelle D. Positive polynomial matrices and improved LMI robustness conditions // Automatica. – 2003. – Vol. 39, iss. 8. – P. 1479–1485. – doi:10.1016/S0005-1098(03)00129-8.
5. Некоторые методы синтеза регуляторов пониженного порядка и заданной структуры / В.А. Бойченко,
А.П. Курдюков, В.Н. Тимин, М.М. Чайковский, И.Б. Ядыкин // Управление большими системами. – 2007. – Вып. 19. – С. 23–126.
6. Saeki M., Aimoto K. PID controller optimization for H¥-control by linear programming // International Journal of Robust and Nonlinear Control. – 2000. – Vol. 10, iss. 2. – P. 83–99. – doi: 10.1002/(SICI)1099-1239(200002)10:2<83::AID-RNC464>3.0.CO;2-L.
7. Волгин Л.Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами. – М.: Наука, 1986. – 240 c.
8. Шубладзе А.М. Достаточные условия экстремума в системах максимальной степени устойчивости. I // Автоматика и телемеханика. – 1997. – № 3. – С. 93–105.
9. Шубладзе А.М. Достаточные условия экстремума в системах максимальной степени устойчивости. II // Автоматика и телемеханика. – 1997. – № 8. – С. 67–79.
10. Исследование оптимальных по степени устойчивости решений при ПИД-управлении. Ч. 1 / А.М. Шубладзе, В.Е. Попадько, А.А. Якушева, С.И. Кузнецов // Управление большими системами. – 2008. – Вып. 22. – C. 86–100.
11. Исследование оптимальных по степени устойчивости решений при ПИД-управлении. Ч. 2 / А.М. Шубладзе, В.Е. Попадько, А.А. Якушева, С.И. Кузнецов // Управление большими системами. – 2008. – Вып. 23. – C. 39–55.
12. Веревкин В.И., Калашников С.Н., Быстров В.А. Оптимизация управлений электрошлаковой наплавки с помощью математического моделирования // Известия вузов. Черная металлургия. – 1992. – № 9. – С. 73–76.
13. Воевода А.А., Плохотников В.В., Чехонадских А.В. О совмещенных декартовых координатах в пространстве корней многочленов с действительными коэффициентами // Сборник научных трудов НГТУ. – 2001. – № 1 (23). –
С. 153–156.
14. Koryukin А.N., Chekhonadskikh A.V. Extreme root location of real polynomials and stabilization of 3-mass control system // Algebra and Model Theory 8 / Novosibirsk State Technical University. – Novosibirsk: NSTU Publ., 2011. – P. 19–39.
15. Воевода А.А., Корюкин А.Н., Чехонадских А.В. О понижении порядка стабилизирующего управления на примере двойного перевернутого маятника // Автометрия. – 2012. – Т. 48, № 6. – С. 69–83.
16. Чехонадских А.В. Экстремальные расположения полюсов систем автоматического управления с регулятором пониженного порядка // Автоматика и телемеханика. – 2014. – № 10. – С. 6–24.
17. Воевода А.А., Чехонадских А.В. Построение списка критических расположений полюсов систем автоматического управления // Доклады Академии наук высшей школы Российской Федерации. – 2014. – № 2–3 (23–24). –
С. 7–18.
18. Варден Б.Л. ван дер. Алгебра: пер. с нем. – М.: Наука, 1975. – 648 c.
19. Чехонадских А.В. О ранге и аннуляторе дифференциала вектора коэффициентов многочлена // Научный вестник НГТУ. – 2007. – № 3 (28). – С. 207–212.
