Аннотация
Пусть система управления одноканальная, причем ее характеристическое уравнение имеет степень два и у него нет вещественных корней, пусть также регулятор имеет полный порядок.
Можно считать, что любой характеристический полином имеет старший коэффициент «1». Каждый допустимый регулятор задает характеристический полином. В данной ситуации эти полиномы задаются парами своих коэффициентов (при степенях 0, 1). Геометрически эти пары можно рассматривать как точки плоскости. Обозначим ее через P. Сопоставляя каждому допустимому регулятору его характеристический полином, получим отображение множества допустимых регуляторов на некоторое множество точек плоскости P (область допустимых точек плоскости P). В данной ситуации фазовое пространство (x, v, где x – регулируемая величина, v – скорость ее изменения) является двумерным и геометрически является плоскостью. В качестве критерия оптимальности рассматривается положительно определенная квадратичная форма . Выбран также «финальный» момент времени. Значение квадратичной формы в финальный момент времени является функцией коэффициентов характеристического полинома.
С помощью Maple показано, что эта функция не имеет точек, подозрительных на экстремум (т. е. нет точек с нулевым градиентом), причем во всей плоскости P. Это позволяет при поиске регуляторов, имеющих ограничения и минимизирующих выбранный квадратичный критерий оптимальности, ограничиться регуляторами, для которых пара из P лежит на границе области допустимых точек плоскости P (по крайней мере для компактной области).
Ключевые слова: локальный экстремум, автоматическое управление, одноканальные системы, регуляторы полного порядка, задача стабилизации, Maple, матричная экспонента, характеристический полином
Список литературы
1. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1976. – 392 с.
2. Корюкин А.Н. Предел устойчивости двухмассовой системы с обобщенным ПИД-регулятором // Научный вестник НГТУ. – 2012. – № 3 (48). – С. 178–184.
3. Корюкин А.Н. Наибольший запас устойчивости для одноканальной двухмассовой системы с обобщенным ПИД-регулятором // Научный вестник НГТУ. – 2012. – № 4 (49). –
С. 178–185.
4. Корюкин А.Н. Обобщенный ПИД-регулятор двухмассовой системы с наибольшим запасом устойчивости // Научный вестник НГТУ. – 2013. – № 3 (52). – С. 10–17.
5. Корюкин А.Н., Воевода А.А. Наибольшая степень устойчивости двухмассовой системы для регуляторов пониженного порядка // Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники. – 2014. – № 1 (31). – С. 229–237.
6. Корюкин А.Н. Степень устойчивости ПИД-регулируемой двухмассовой системы с двукратным вещественным корнем и комплексной парой на одной вертикали // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. –2014. – № 3 (43). – С. 120–126.
7. Корюкин А.Н. Разложение на простые множители невырожденных полиномиальных матриц // Научный вестник НГТУ. – 2014. – № 3 (56). – С. 23–36.
8. Корюкин А.Н., Воевода А.А. Наибольшая степень устойчивости трехмассовой системы с регулятором пониженного порядка // Известия Томского политехнического университета. – 2014. – Т. 325, № 5: Информационные технологии. – С. 52–59.
9. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – СПб.: М.: Краснодар: Лань, 2009. – 470 с.
10. Бурбаки Н. Алгебра. Т. 3. Модули, кольца, формы: пер. с фр. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1966. – 554 с.
11. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. – М.: Мир, 1971. – 706 с.
12. Anthaklis P.J., Michel A.N. Linear systems. – Boston: Birkhauser, 2006. – 670 p.
13. Wang Q.-G. Decoupling control. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2003. – 356 p.
14. Vidyasagar M. Control system synthesis: a factorization approach. Pt. 1. – San Rafael, California: Morgan & Claypool, 2011. – 184 p.
15. Vidyasagar M. Control system synthesis: a factorization approach. Pt. 2. – San Rafael, California: Morgan & Claypool, 2011. – 227 p.
16. Kailath T. Linear systems. – Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1980. – 704 p.
17. Wolovich W. Linear multivariable systems. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1974. – 372 p.
18. Воевода А.А. Матричные передаточные функции (основные понятия): учебное пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1994. – 94 c.
19. Воевода А.А. Матричные передаточные функции (синтез): конспект лекций. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1995. – 94 c.
