Аннотация
Использование сотовых конструкций является перспективным направлением в области авиационной техники. Работа посвящена методу определения теплового состояния сотовых конструкций фюзеляжа самолета. В качестве математической модели для решения задачи теплообмена в сотовых конструкциях рассматривается параболическая краевая задача с разрывными коэффициентами. Доказано, что при некоторых не очень ограничительных условиях задача такого вида имеет единственное обобщенное решение в смысле интегрального тождества. В то же время это обобщенное решение может быть аппроксимировано решением параболического уравнения, коэффициенты которого являются гладкими приближениями исходных разрывных коэффициентов. Приближение (сглаживание) коэффициентов производится с помощью интегрального усреднения с бесконечно дифференцируемым финитным ядром. Известно, что решение параболического уравнения может быть представлено в виде математического ожидания функционала решения стохастических дифференциальных уравнений. Этот факт может быть использован для получения статистических оценок решений параболических уравнений с помощью численного решения стохастических дифференциальных уравнений. Приближенное решение задачи таким способом может быть получено в одной или нескольких точках внутри области, что часто бывает достаточным для практического применения. При этом нет необходимости строить сетку по пространственным переменным и решать большие системы линейных алгебраических уравнений. Метод статистического моделирования распараллеливается легко и с высокой эффективностью. Поэтому для решения задачи была использована суперкомпьютерная техника. Этот метод применяется для оценки решения параболического уравнения со сглаженными коэффициентами, полученными на основе интегрального усреднения. На первом этапе были получены значения температурысотовойконструкции с помощьюпредложенного в данной работе метода. Для расчета теплового состояния панели была разработана параллельная программа на языке Fortran 90. Распараллеливание в программе осуществляется по схеме ведущий–ведомые (Master–Slave). В этой схеме одно вычислительное ядро считается главным, и оно распределяет весь объем работы по моделированию случайных траекторий по всем ядрам, участвующим в работе. По окончании моделирования всех траекторий все ядра передают ведущему ядру полученные результаты расчетов для вычисления математического ожидания функционала, дающего оценку температуры. При написании параллельной программы использовалось программное обеспечение Intel MPI, Version 4.1. Моделирование траекторий случайного процесса осуществлялось с использованием параллельного датчика гауссовских случайных величин из библиотеки Intel MKL. Вычисления проводились в Сибирском суперкомпьютерном центре на гибридном кластере HKC-30T+GPU с использованием 36 4-ядерных процессоров E5540 2,53 GHz. Затеманалогичные расчетыбыли выполнены для гомогенной структуры сэкспериментально полученнымизначениямиэффективной теплопроводностиитемпературопроводности. Полученныерезультаты показывают, что значениятемпературы длясотовой конструкции игомогенной структуры находятся в хорошем согласии, когда процесс передачитеплаблизок кстационарному.
Ключевые слова: фюзеляж самолета, сотовая конструкция, гетерогенные структуры, тепловое состояние, математическая модель, численное решение, параболическая краевая задача, разрывные коэффициенты, интегральное усреднение, стохастические дифференциальные уравнения
Список литературы
1. Koch L.C., Pagel L.L.High heat flux actively cooled honeycomb sandwich structural panel for a hypersonic aircraft / National Aeronautics and Space Administration. – Washington, 1978. – 161 p. – (NASA Contractor Report; CR-2959). 2. Цихош Э.Сверхзвуковые самолеты: справочное руководство: пер. с пол. – М.: Мир, 1983. – 432 c. 3. Ладыженская О.А., Ривкинд В.Я., Уральцева Н.Н.О классическойразрешимостизадач дифракции.Краевые задачиматематической физики.4 // Труды Математического института им. В.А. Стеклова Академии наук СССР. – 1966. – Т. 92. – C. 116–146. 4. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н.Линейные иквазилинейные уравненияпараболического типа. – М.: Наука, 1967. – 736 c. 5. Миснар А.Теплопроводностьтвердых тел, жидкостей, газов и их композиций: пер. с фр. – М.: Мир, 1968. – 460 c. 6. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. –3-е изд. – М.: Наука, 1988. – 336 c. 7. Гихман И.И.,Скороход А.В.Введение в теориюслучайных процессов. – М.: Наука, 1977. – 568 c. 8. Kloeden P.E., Platen E. Numerical solution of stochastic differential equations. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1992. – 632 p. – (Stochastic modelling and applied probability; vol. 23). –doi: 10.1007/978-3-662-12616-5. 9. Lions P.L., Sznitman A.S. Stochastic differential equations with reflected boundary conditions // Communications on Pure and Applied Mathematics. – 1984. – Vol. 37, iss. 4. – P. 511–537. – doi: 10.1002/cpa.3160370408. 10. Saisho Y. Stochastic differential equations for multi-dimensional domainwith reflecting boundary // Probability Theory and Related Fields. – 1987. – Vol. 74, iss. 3. – P. 455–477. – doi: 10.1007/BF00699100. 11. Tanaka H. Stochastic differential equations with reflected boundary condition in convex regions // Hiroshima Mathematical Journal. – 1979. – Vol. 9, N 1. – P. 163–177. 12. Мильштейн Г.Н. Применение численного интегрирования стохастических уравнений для решения краевых задач с граничными условиями Неймана // Теория вероятностей и ее применения. – 1996. – Т. 41, вып. 1. – C. 210–218. – doi: 10.4213/tvp2797. 13. Воронин Г.И. Системы кондиционирования воздуха на летательных аппаратах. – М.: Машиностроение, 1973. – 443 с. 14. Дульнев Г.Н., Тарновский Н.Н. Тепловые режимы электронной аппаратуры: учебное пособие. – Л.: Энергия, Ленинградское отделение, 1971. – 248 с. 15. Handbook of Intel MKL [Electronic resource] // Intel® Developer Zone: website. – URL: http://software.intel.com/sites/products/documentation/doclib/mkl_sa/11/m klman/index.htm (accessed: 08.06.2015).
