Аннотация
В статье разработаны и численно реализованы две модели случайного блуждания на самоподобном подмножестве плоскости, которое можно рассматривать как ковер Серпинского, развернутый на всю плоскость. Такое множество будем называть ковром Серпинского в целом. Построенные модели случайного блуждания позволили решить две задачи: вычислить средние квадраты соответствующих случайных процессов и исследовать асимптотику вероятности возвращения в начальную точку блуждания. Размерность геодезических ковра Серпинского в целом и кривых, по которым происходит случайное блуждание, равна единице, между тем размерность ковра Серпинского имеет дробное значение. Мы следовали формату случайного блуждания по самоподобному множеству, приведенному в работе [1]. В этом формате средний квадрат случайного блуждания связан с хаусдорфовой размерностью аналогов геодезических, а вероятность возвращения – с отношением размерности фазового пространства к размерности этих геодезических. Сформулируем полученные нами результаты для ковра Серпинского в целом более точно: средний квадрат блуждания ведет себя линейно по времени, вероятность возвращения в начало координат за определенное число шагов заключена между значениями классической вероятности возвращения симметричного случайного блуждания на плоскости и на прямой. Еще раз отметим, что число степеней свободы, определяемое как отношение размерности фазового пространства к размерности геодезических, имеет для ковра Серпинского дробное значение. Построенная модель случайного блуждания позволяет понять, с чем связан дробный характер числа степеней свободы. Действительно, из-за неоднородной структуры ковра Серпинского у блуждающей точки число возможных направлений движения не является постоянной величиной и изменяется с течением времени.
Ключевые слова: процессы переноса, стохастическое моделирование, диффузия, ковер Серпинского, случайное блуждание, цепь Маркова, самоподобные множества, вероятность возвращения
Список литературы
1. Зеленый Л.М., Милованов А.В.Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // Успехи физических наук. – 2004. – Т. 174, № 8. – C. 819–852.
2. Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // Успехи физических наук. – 2003. – Т. 173, № 8. – C. 847–876.
3. Учайкин В.В.Субдиффузия и устойчивые законы // ЖЭТФ. – 1999. – Т. 115, № 6. –
C. 2113–2132.
4. Федер Е. Фракталы. – М.: Мир, 1991. – 261 с.
5. Аркашов Н.С., Селезнев В.А. О модели случайного блуждания на множествах с самоподобной структурой // Сибирский математический журнал. – 2013. – Т. 54, № 6. –
С. 1216–1236.
6. Селезнев В.А.,Аркашов Н.С. Об условиях формирования процессов суб- и супердиффузии на самоподобных множествах // Доклады Академии наук высшей школы Российской Федерации. – 2014. – Т. 25, № 4. – С. 33–38.
7. Заславский Г.М. Гамильтонов хаос и фрактальная динамика. – Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2010. – 472 с.
8. Мосолов А.Б., Динариев О.Ю. Фракталы, скейлы и геометрия пористых материалов // ЖТФ. – 1988. – Т. 58, № 2. – C. 233–338.
9. Mandelbrot B.The fractal geometry of nature.– New York: Henry Holt and Company, 1983. – 468 p.
10. Фракталы и перколяция в пористой среде / Э. Гийон, К. Митеску, Ж.-П. Юлен,
С. Ру // Успехи физических наук. – 1991. – Т. 161, № 10. – C. 121–128.
11. Edgar G. Measure, topology, and fractal geometry. – New York: Springer, 2008. – 268 p.
12. Falconer K. Fractal geometry mathematical foundations and applications. – London: Wiley, 2008. – 337 p.
13. Hutchinson J. Fractals and self similarity // Indiana University Mathematics Journal. – 1981. – Vol. 30, N 5. – P. 713–747. – doi: 10.1512/iumj.1981.30.30055.
14. Ширяев А.Н. Вероятность. – М.: Наука, 1980. – 581 с.
15. Боровков А.А. Теория вероятностей. – М.: Эдиториал УРСС, 1999. – 470 с.
