Аннотация
В статье разработаны и численно реализованы две модели случайного блуждания на самоподобном подмножестве плоскости, которое можно рассматривать как ковер Серпинского, развернутый на всю плоскость. Такое множество будем называть ковром Серпинского в целом. Построенные модели случайного блуждания позволили решить две задачи: вычислить средние квадраты соответствующих случайных процессов и исследовать асимптотику вероятности возвращения в начальную точку блуждания. Размерность геодезических ковра Серпинского в целом и кривых, по которым происходит случайное блуждание, равна единице, между тем размерность ковра Серпинского имеет дробное значение. Мы следовали формату случайного блуждания по самоподобному множеству, приведенному в работе [1]. В этом формате средний квадрат случайного блуждания связан с хаусдорфовой размерностью аналогов геодезических, а вероятность возвращения – с отношением размерности фазового пространства к размерности этих геодезических. Сформулируем полученные нами результаты для ковра Серпинского в целом более точно: средний квадрат блуждания ведет себя линейно по времени, вероятность возвращения в начало координат за определенное число шагов заключена между значениями классической вероятности возвращения симметричного случайного блуждания на плоскости и на прямой. Еще раз отметим, что число степеней свободы, определяемое как отношение размерности фазового пространства к размерности геодезических, имеет для ковра Серпинского дробное значение. Построенная модель случайного блуждания позволяет понять, с чем связан дробный характер числа степеней свободы. Действительно, из-за неоднородной структуры ковра Серпинского у блуждающей точки число возможных направлений движения не является постоянной величиной и изменяется с течением времени.
Ключевые слова: процессы переноса, стохастическое моделирование, диффузия, ковер Серпинского, случайное блуждание, цепь Маркова, самоподобные множества, вероятность возвращения
Н.С. АРКАШОВ
630073, РФ, г. Новосибирск, пр. Карла Маркса, 20, Новосибирский государственный технический университет, кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой высшей математики Новосибирского государственного технического университета.Е-mail:
nicky1978@mail.ru
Orcid:
Е.В. ЛЕЖНЕВ
630073, РФ, г. Новосибирск, пр. Карла Маркса, 20, Новосибирский государственный технический университет, кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики Новосибирского государственного технического университета. Е-mail:
lionlev@yandex.ru
Orcid:
Список литературы
1. Зеленый Л.М., Милованов А.В.Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // Успехи физических наук. – 2004. – Т. 174, № 8. – C. 819–852.
2. Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // Успехи физических наук. – 2003. – Т. 173, № 8. – C. 847–876.
3. Учайкин В.В.Субдиффузия и устойчивые законы // ЖЭТФ. – 1999. – Т. 115, № 6. –
C. 2113–2132.
4. Федер Е. Фракталы. – М.: Мир, 1991. – 261 с.
5. Аркашов Н.С., Селезнев В.А. О модели случайного блуждания на множествах с самоподобной структурой // Сибирский математический журнал. – 2013. – Т. 54, № 6. –
С. 1216–1236.
6. Селезнев В.А.,Аркашов Н.С. Об условиях формирования процессов суб- и супердиффузии на самоподобных множествах // Доклады Академии наук высшей школы Российской Федерации. – 2014. – Т. 25, № 4. – С. 33–38.
7. Заславский Г.М. Гамильтонов хаос и фрактальная динамика. – Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2010. – 472 с.
8. Мосолов А.Б., Динариев О.Ю. Фракталы, скейлы и геометрия пористых материалов // ЖТФ. – 1988. – Т. 58, № 2. – C. 233–338.
9. Mandelbrot B.The fractal geometry of nature.– New York: Henry Holt and Company, 1983. – 468 p.
10. Фракталы и перколяция в пористой среде / Э. Гийон, К. Митеску, Ж.-П. Юлен,
С. Ру // Успехи физических наук. – 1991. – Т. 161, № 10. – C. 121–128.
11. Edgar G. Measure, topology, and fractal geometry. – New York: Springer, 2008. – 268 p.
12. Falconer K. Fractal geometry mathematical foundations and applications. – London: Wiley, 2008. – 337 p.
13. Hutchinson J. Fractals and self similarity // Indiana University Mathematics Journal. – 1981. – Vol. 30, N 5. – P. 713–747. – doi: 10.1512/iumj.1981.30.30055.
14. Ширяев А.Н. Вероятность. – М.: Наука, 1980. – 581 с.
15. Боровков А.А. Теория вероятностей. – М.: Эдиториал УРСС, 1999. – 470 с.
Просмотров аннотации: 2320
Скачиваний полного текста: 1809
Просмотров интерактивной версии: 0
