СБОРНИК
НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ

ISSN: 2307-6879
English | Русский

Последний выпуск
№2(92) Апрель - Июнь 2018

Байесовские планы эксперимента для функционалов Дубова: примеры и эффект ветвления

Выпуск № 3 (89) Июль - Сентябрь 2017
Авторы:

Ю.Д. Григорьев,
А.С. Груняшин
DOI: http://dx.doi.org/10.17212/2307-6879-2017-3-92-108
Аннотация

используются различные подходы – локально оптимальное планирование, минимакс-ное, максимино-байесовское и байесовское. Все эти подходы  соответствуют различным уровням априорной информации о параметрах модели.



В статье рассматривается байесовский подход для построения планов эксперимента для  однопараметрической экспоненциальной модели  регрессии. В качестве критерия оптимальности используются пять байесовских D-функционалов Дубова. Для этих функционалов в работах Григорьева, Дубова, Федорова, Аткинсона и Донева получены необходимые и достаточные условия оптимальности, обобщающие на байесовский случай классическую теорему эквивалентности Кифера–Вольфовица.



В одномерном случае эти пять функционалов сводятся к трем функционалам, порождающим три класса байесовских планов. В общем случае для построения таких планов требуется задание априорного распределения, удовлетворяющего  соответствующим условиям регулярности. В данной работе в качестве такого распределения рассматривается равномерное распределение.



Для рассматриваемых функционалов Дубова и заданного априорного распределения в работе построены одноточечные байесовские планы и найдены их точки ветвления, т. е. такие параметры носителя априорного распределения, при которых спектр одноточечного плана пополняется второй точкой. При дальнейшем увеличении диаметра носителя происходит расширение спектра оптимального плана за счет ветвления второй точки спектра и т. д. Задача численного отыскания второй точки ветвления в работе не рассматривается.



Для проверки байесовских планов на оптимальность используется теорема оптимальности Чалонера–Ларнца, из которой следует, что в общем случае спектр байесовского плана может содержать число точек, превышающее число неизвестных параметров модели.



 В статье на примере однопараметрической экспоненциальной модели показано, что три рассматриваемых функционала Дубова (а в общем случае – и все пять функционалов) обладают разным уровнем информативности. Для наиболее информативного критерия, имеющегося среди указанных трех функционалов Дубова, первая точка ветвления отнесена в бесконечность. Это означает, что для любого диаметра носителя собственного априорного распределения байесовский оптимальный план является одноточечным.


Ключевые слова: байесовские планы эксперимента, нелинейные функции отклика, одноточечные и двухточечные планы, функционалы Дубова, функция дисперсии, эффект ветвления, теорема эквивалентности, априорное распределение

Список литературы

1. Григорьев Ю.Д., Денисов В.И., Кораблев В.И. Байесовские планы эксперимента при нелинейной параметризации // Применение ЭВМ в оптимальном планировании и проектировании. – Новосибирск: НЭТИ, 1974. – С. 3–9.



2. Григорьев Ю.Д.Некоторые вопросы построения планов эксперимента при нелинейной параметризации: дис. … канд. техн. наук. – Новосибирск, 1975. – 157 с.



3. Федоров В.В.Теория оптимального эксперимента. – М.: Наука, 1971. – 312 с.



4. Григорьев Ю.Д. Методы оптимального планирования эксперимента: линейные модели: учебное пособие. – СПб.: Лань, 2015. – 320 с.



5. Дубов Э.Л.D-оптимальные планы при байесовском подходе для нелинейной параметризации //Регрессионныеэксперименты: (планированиеианализ) / под общ.ред. В.В. Налимова. – М.: Изд-воМоск. ун-та, 1977. – С. 103–111.



6. Дубов Э.Л,Байесовскиеоптимальныепланывнелинейныхзадачах // Вопросы кибернетики. Линейная и нелинейная параметризация в задачах планирования эксперимента / под ред. В.В. Налимова, В.В. Федорова. – М., 1981. – С. 27–30.



7. Федоров В.В.Активные регрессионные эксперименты // Математические методы планирования эксперимента / под ред. В.В. Пененко. – Новосибирск: Наука, 1981. – С. 19–73.



8. Chaloner K.,Larntz K. Optimal Bayesian experimental design applied to logistic regression experiments // Journal of Statistical Planning and Inference. – 1989. –Vol. 21 (2). –P. 191–208.



9. Chaloner K., Larntz K.Bayesian design for accelerated life testing //Journal of Statistical Planning and Inference. –1992. – Vol. 33 (2). – P. 245–260.



10. Chaloner K.A note on optimal Bayesian design for nonlinear problems //Journal of Statistical Planning and Inference. –1993. – Vol. 37 (2). – P. 229–236.



11. Dette H., Sperlich S.A note on Bayesian D-optimal designs for a generalization of the exponential growth model // South African Statistical Journal. – 1994. –Vol. 28. – P. 103–117.



12. Dette H., Neugebauer H.M.Bayesian optimal one point designs for one parameter nonlinear models //Journal of Statistical Planning and Inference. –1996. – Vol. 52 (1). – P. 17–31.



13. Dette H., Neugebauer H.M.Bayesian D-optimal designs for exponential regression models // Journal of Statistical Planning and Inference. –1997. – Vol. 60 (2). – P. 331–349.



14. Brass D., Dette H.On the number of support points of maximin and Bayesian D-optimal designs in nonlinear regression models // The AnnalsofStatistics. – 2007. – Vol. 35 (2). – P. 772–792.



15. Старосельский Ю.М. ИсследованиебайесовскихD-оптимальныхплановдлядробно-рациональныхмоделей // ВестникСПбГУ. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. – 2008. – Вып. 3. – С. 98–105.



16. Старосельский Ю.М. Исследование оптимальных планов эксперимента для нелинейных по параметрам регрессионных моделей: дис. … канд. физ.-мат. наук. – СПб., 2008. – 109 с.



17. Atkinson A.C., Donev A.N.Optimal experimental designs. – Oxford: ClarendonPress, 1992. –352 p.

Просмотров: 387