Аннотация
Групповой анализ является признанным и надежным, а порой даже единственным инструментом исследования дифференциальных уравнений как в механике, так и в других науках. Но этот инструмент довольно сложен и, видимо, по этой причине до сих пор, к сожалению, слишком мало используется в теории автоматического управления. Данная работа хоть в какой-то степени восполняет этот пробел и в целях обучения помогает
сделать первый шаг в групповом анализе. Для функции y = y(x) рассматривается исходное дифференциальное уравнение y = 0 ; его решения – это прямые на плоскости (x, y) (невертикальные). Элементы допускаемой группы решения этого уравнения переводят в такие же решения, т. е. (невертикальные) прямые плоскости (x, y) переводят в такие же прямые. Если x понимать как время, то плоскость (x, y) можно рассматривать как
расширенное фазовое пространство (пространство событий). Элементы допускаемой группы одномерное прямолинейное движение переводят в такое же движение. А это уже тесно связано с таким понятием, как «инерциальные системы отсчета». Итак, поиск допускаемой группы исходного дифференциального уравнения можно понимать как синтез инерциальных систем отсчета (в том числе и криволинейных), и в данной работе
эта задача решена для одномерного движения. С целью обучения групповому анализу ищется второе продолжение оператора X однопараметрической группы преобразований плоскости (x, y); для исходного дифференциального уравнения выписываются определяющие уравнения; их решают и получают дифференциальные уравнения в частных производных (на коэффициенты оператора X как на функции от x, y). Получено восьмимерное пространство операторов однопараметрических групп преобразований плоскости (x, y), допускаемых исходным дифференциальным уравнением; выписан базис этого пространства (8 операторов); для каждого из этих восьми операторов вычислена соответствующая однопараметрическая группа допускаемых преобразований плоскости (x, y).
Ключевые слова: дифференциальные уравнения, групповой анализ, допускаемый
оператор, алгебра Ли, группа Ли, группы Ли в дифференциальных уравнениях, допускаемая алгебра Ли, допускаемая группа Ли, теория автоматического управления, синтез регуляторов
Список литературы
1. Lie S. Vorlesungen über continuerliche Gruppen. – Leipzig: Teubner, 1893. – 805 c.
2. Яковенко Г.Н. Дифференциальные уравнения с фундаментальными ре-шениями: Софус Ли и другие. – М.: Физматкнига, 2006. – 108 с.
3. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли: пер. с англ. – М.: Мир, 1987. – 304 с.
4. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. – М.: Мир, 1989. – 640 с.
5. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1962. – 239 с.
6. Овсянников Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. – Новосибирск: Изд-во НГУ, 1966. – 131 с.
7. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 399 с.
8. Ибрагимов Н.Х. Групповые свойства некоторых дифференциальных уравнений. – Новосибирск: Наука, 1967. – 59 с.
9. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. – М.: Наука, 1983. – 280 с.
10. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. – М.: Знание, 1989. – 47 с. – (Новое в жизни, науке, технике. Математика. Кибернетика; № 8).
11. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Знание, 1991. – 48 с. – (Новое в жизни, науке, тех-нике. Математика. Кибернетика; № 7).
12. Ибрагимов Н.Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. Классические и новые методы. Нелинейные математические модели. Симметрия и принципы инвариантности: пер. с англ. – 2-е изд., доп. и испр. – М.: Физматлит, 2012. – 332 с.
13. Яковенко Г.Н. Групповые свойства динамических систем. Конечно-мерный случай. – М.: Изд-во МФТИ, 1994. – 137 с.
14. Яковенко Г.Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения и систе-мы с управлением — сравнительный групповой анализ [Электронный ре-сурс] // Дифференциальные уравнения и процессы управления. – 2002. – № 3. – С. 40–83. – URL: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/j095.pdf (дата обра-щения: 20.06.2015).
15. Яковенко Г.Н. Теория управления регулярными системами. – М.: Би-ном. Лаборатория знаний, 2008. – 264 с. – (Математика).
16. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Гостехиздат, 1953. – 468 с.
